光学知识点

旋度的旋度将是本文的重点。若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：

                                (8)

                             (9)

                                   (10)

                               (11)

对(9)式两端取旋度

                          (12)

再将(8)式代入(12)式有

                             (13)

看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。即有：

                          (14)

这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：

                        (15)

为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。还是做(7)式那样的处理，即令

则

于是

               (16)

而令

             (17)

两式相减有

               (18)

类似地有

由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成

                             (19)

这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。

VI.几个矢量恒等式：

前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。

①

②

这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。但是对于▽算子，则一般

但是一般有

实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展

上两式相减有

记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。

③

这个等式相对容易证明，但前提是要在直角坐标下。