标签：树形DP

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题目描述

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有$n - 1$n−1个城市和$n$n个乡村，其中城市从$1$1到$n - 1$n−1 编号，乡村从$1$1到$n$n编号，且$1$1号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i， 通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比$i$i大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往 外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。

W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修$n - 1$n−1条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调 查的数据，小 W 对每个乡村制定了三个参数，编号为$i$i的乡村的三个参数是$a_i$ai​，$b_i$bi​和$c_i$ci​。假设 从编号为$i$i的乡村走到首都一共需要经过$x$x条未翻修的公路与$y$y条未翻修的铁路，那么该乡村 的不便利值为

$c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)$ci​⋅(ai​+x)⋅(bi​+y)

在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修$n - 1$n−1条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小 W 自然 希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

输入输出格式

输入格式

第一行为正整数$n$n。

接下来$n - 1$n−1行，每行描述一个城市。其中第$i$i行包含两个数$s_i,t_i$si​,ti​。$s_i$si​表示通向第$i$i座城市 的公路的起点，$t_i$ti​表示通向第i座城市的铁路的起点。如果$s_i > 0$si​>0，那么存在一条从第$s_i$si​座城 市通往第$i$i座城市的公路，否则存在一条从第$-s_i$−si​个乡村通往第i座城市的公路；$t_i$ti​类似地，如 果$t_i > 0$ti​>0，那么存在一条从第$t_i$ti​座城市通往第i座城市的铁路，否则存在一条从第$-t_i$−ti​个乡村通 往第$i$i座城市的铁路。

接下来$n$n行，每行描述一个乡村。其中第i行包含三个数$a_i,b_i,c_i$ai​,bi​,ci​，其意义如题面所示。

输出格式

输出一行一个整数，表示最优翻修方案的不便利值。

输入输出样例

输入样例#1

6 
2 3 
4 5 
-1 -2 
-3 -4 
-5 -6 
1 2 3 
1 3 2 
2 1 3 
2 3 1 
3 1 2 
3 2 1

输出样例#1

54

输入样例#2

9 
2 -2 
3 -3 
4 -4 
5 -5 
6 -6 
7 -7 
8 -8 
-1 -9 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1

输出样例#2

548

输入样例#3

12 
2 4 
5 3 
-7 10 
11 9 
-1 6 
8 7 
-6 -10 
-9 -4
-12 -5 
-2 -3 
-8 -11 
53 26 491 
24 58 190 
17 37 356 
15 51 997 
30 19 398 
3 45 27 
52 55 838 
16 18 931 
58 24 212 
43 25 198 
54 15 172 
34 5 524

输出样例#3

5744902

说明

【样例解释 1】

如图所示，我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村；用绿色、红色箭头分别表示 公路、铁路；用加粗箭头表示翻修的道路。

一种不便利值等于54的方法是：翻修通往城市2和城市5的铁路，以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路，用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路，那么：

编号为1的乡村到达首都的路线为：-1 ∗→ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路，代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9；
编号为2的乡村到达首都的路线为：-2 ⇒ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路，代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10；
编号为3的乡村到达首都的路线为：-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9；
编号为4的乡村到达首都的路线为：-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路，代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12；
编号为5的乡村到达首都的路线为：-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8；
编号为6的乡村到达首都的路线为：-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路，代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6；

总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。

【样例解释 2】

在这个样例中，显然应该翻修所有公路。

【数据范围】
一共20组数据，编号为1 ∼ 20。
对于编号$\le 4$≤4的数据，$n \le 20$n≤20；
对于编号为5 ∼ 8的数据，$a_i,b_i,c_i \le 5$ai​,bi​,ci​≤5，$n \le 50$n≤50；
对于编号为9 ∼ 12的数据，$n \le 2000$n≤2000；
对于所有的数据，$n \le 20000$n≤20000，$1 \le a_i,b_i \le 60$1≤ai​,bi​≤60，$1 \le c_i \le 10^9$1≤ci​≤109，$s_i,t_i$si​,ti​是$[-n,-1] \cup (i,n - 1]$[−n,−1]∪(i,n−1]内的整数，任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。

题解

在考场上只会20分暴力，自闭了qwq

直接考虑树形DP

设$f[u][i][j]$f[u][i][j]为从根节点到u节点经过了i条没经过标记的L边和j条没经过标记的R边

• 对于每个叶子节点直接枚举最佳答案$f[u][j][j]=c_u(a_u+i)(b_u+j)$f[u][j][j]=cu​(au​+i)(bu​+j)
• 对于每个非叶子节点枚举左右删去哪条边$f[u][i][j]=min\{ f[lson][i+1][j]+f[rson][i][j],f[lson][i][j]+f[rson][i][j+1]\}$f[u][i][j]=min{f[lson][i+1][j]+f[rson][i][j],f[lson][i][j]+f[rson][i][j+1]}

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//******head by yjjr******
#define lson Num[s[u]]
#define rson Num[t[u]]
const int maxn=5e4+6;
int n,m,Top,Tot,a[maxn],b[maxn],c[maxn],s[maxn],t[maxn],Num[maxn],Sta[maxn];
ll f[106][106][106];
void dfs(int u,int x,int y){
	int now=Num[u]=Top?Sta[Top--]:++Tot;
	if(!s[u]){
		rep(i,0,x)rep(j,0,y)f[now][i][j]=(ll)c[u]*(a[u]+i)*(b[u]+j);
		return;
	}
	dfs(s[u],x+1,y);dfs(t[u],x,y+1);
	rep(i,0,x)rep(j,0,y)f[now][i][j]=min(f[lson][i+1][j]+f[rson][i][j],f[lson][i][j]+f[rson][i][j+1]);
	Sta[++Top]=lson,Sta[++Top]=rson;
}
int main(){
	n=read();m=2*n-1;
	rep(i,1,n-1){
		int u=read(),v=read();
		if(u<0)s[i]=n-u-1;else s[i]=u;
		if(v<0)t[i]=n-v-1;else t[i]=v;
	}
	rep(i,n,m)a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
	dfs(1,0,0);
	cout<<f[Num[1]][0][0]<<endl;
	return 0;
}