【计算理论】正则语言 ( 正则表达式原子定义 | 正则表达式递归定义 | 正则表达式语言原子定义 | 正则表达式语言结构归纳 | 正则表达式语言示例 | 根据正则表达式构造自动机 )

I . 正则表达式 定义

---

1 . 正则表达式原子定义 :

如果 $R$R 是

• 字符集 $\Sigma$Σ 中的 $1$1 个字符 ,
• 空字符串 $\varepsilon$ε , 或
• 空集 $\{ \varnothing \}${∅} ,

那么称 $R$R 是正则表达式 ;

2 . 正则表达式递归定义 :

如果 $R_1 , R_2$R1​,R2​ 是正则表达式 , 那么

• $R_1 \cup R_2$R1​∪R2​ 是正则表达式 ;
• $R_1 \circ R_2$R1​∘R2​ 是正则表达式 ;
• $R_1^*$R1∗​ 是正则表达式 ;

上述是正则表达式的定义 , 这是一个结构归纳定义 ;

II . 正则表达式语言 原子定义

---

正则表达式语言表示方式 : $R$R 是正则表达式 , $L(R)$L(R) 是正则表达式代表的语言 ;

1 . 单个字符代表的语言 :

$L(a) = \{a\}$L(a)={a}

$a$a 是字符集中的字符 , 那么其所代表的的语言是 $\{a\}${a} 单元集 , 是由一个元素的字符构成的 ;

2 . 空字符串代表的语言 :

$L(\varepsilon) = \{ \varepsilon \}$L(ε)={ε}

如果 $\varepsilon$ε 是正则表达式 , 其所代表的的语言 $L(\varepsilon)$L(ε) , 是由空字符串组成的集合 $\{ \varepsilon \}${ε} ;

3 . 空集代表的语言 :

$L(\varnothing) = \varnothing$L(∅)=∅

空集 $\varnothing$∅ 所代表的的语言 , 就是空集 ;

III . 正则表达式语言 结构归纳定义

---

1 . 正则表达式并集 的 语言 :

$L(R_1 \cup R_2) = L(R_1) \cup L(R_2)$L(R1​∪R2​)=L(R1​)∪L(R2​)

$R_1 , R_2$R1​,R2​ 是两个正则表达式 , 其并集的语言 , 就是其 两个语言的并集 ;

2 . 正则表达式串联 的 语言 :

$L(R_1 \circ R_2) = L(R_1) \circ L(R_2)$L(R1​∘R2​)=L(R1​)∘L(R2​)

$R_1 , R_2$R1​,R2​ 是两个正则表达式 , 其串联运算结果正则表达式的语言 , 就是其 两个正则表达式语言的 串联运算结果 ;

3 . 正则表达式星运算 的 语言 :

$L(R^*) = ( L(R) ) ^*$L(R∗)=(L(R))∗

$R$R 正则表达式 星运算 结果 正则表达式 的语言 , 就是 $R$R 正则表达式的语言 进行 星运算的结果 ;

IV . 正则表达式语言 示例

---

字符集 : $\Sigma = \{0, 1\}$Σ={0,1} ;

正则表达式 : $( 0 \cup 1 )^* 1 0 ( 0 \cup 1 )^*$(0∪1)∗10(0∪1)∗ ;

正则表达式转化成语言 :

$\begin{array}{lcl} && L( ( 0 \cup 1 )^* 1 0 ( 0 \cup 1 )^* ) \\\\ &=& L( ( 0 \cup 1 )^* ) \circ L(1) \circ L(0) \circ L( ( 0 \cup 1 )^* ) \\\\ &=& \{0,1\}^* \circ \{ 1 \} \circ \{ 0 \} \circ \{ 0, 1 \}^* \end{array}$​==​L((0∪1)∗10(0∪1)∗)L((0∪1)∗)∘L(1)∘L(0)∘L((0∪1)∗){0,1}∗∘{1}∘{0}∘{0,1}∗​

上述 $\{0,1\}^*${0,1}∗ 就是 $0,1$0,1 有限个字符串组成的字符 ;

正则表达式表示的语言 , 刚好是自动机所识别的语言 ; 可以根据该语言将自动机设计出来 ;

V . 空集 $\varnothing$∅ 与 空字符 $\varepsilon$ε 差别

---

空集 $\varnothing$∅ 是正则表达式 , 类似于数中的 $0$0 ;

空字符 $\varepsilon$ε 是正则表达式 , 类似于数中的 $1$1 ;

( 后续待补充 )

VI . 正则表达式 定理

---

1 . 定理 : 一个语言如果是正则语言 , 当且仅当 , 该语言可以通过正则表达式表示出来 ;

2 . 有以下两层含义 :

• ① 正则表达式 -> 自动机识别 :正则表达式 表达出的语言 刚好 能够被自动机识别 ;

• ② 自动机识别 -> 正则表达式 : 自动机识别某个语言 , 那么该语言可以被正则表达式表达出来 ;

3 . 定理证明 :

① 正则表达式 -> 自动机识别 证明 : 给定一个正则表达式 , 设计一个自动机 , 该自动机所 接受 ( 识别 / 认识 ) 的语言 , 刚好是该正则表达式所表达的语言 ;

下面的 " 根据 正则表达式 语言 构造 自动机 " 小节的示例 , 证明了正则表达式语言必有自动机识别 ;

② 自动机识别 -> 正则表达式 证明 : 给定一个自动机 , 找到其所识别的 正则表达式语言 ;

VII . 根据 正则表达式 语言 构造 自动机 ( 定理正向证明 )

---

1 . 需求 : 根据下面的 正则表达式 构造 非确定性有限自动机 ( NFA ) , 刚好能 识别上述正则表达式表示的语言 ;

$( ab \cup a )^*$(ab∪a)∗

构造能识别 $( ab \cup a )^*$(ab∪a)∗ 语言 的 自动机 ;

VIII . 构造原子自动机

---

构造原子自动机 : 先构造能接收 单个字符 的自动机 ;

① 接收 $a$a 字符的自动机 : 下面的自动机是可以识别 $a$a 字符串的 ;

② 接收 $b$b 字符的自动机 : 下面的自动机是识别 $b$b 字符串的 ;

IX . 使用 原子自动机 拼装 正则表达式对应的自动机

---

拼装上述识别单个字符的 自动机 :

1 . 摆放自动机位置 : 将 $2$2 个能识别 $a$a 字符串的自动机 , 与 $1$1 个能识别 $b$b 字符串的自动机 , 按照如下排列放置 ;

2 . $ab$ab 对应自动机构造 :

① 自动机连接方式 : $a$a 正则表达式语言 自动机 与 $b$b 正则表达式语言 自动机 是串联在一起的 ;

② 串联两个自动机的状态 : 使用 $\varepsilon$ε 箭头 , 串联 $a$a 对应自动机的接受状态 -> $b$b 对应自动机的开始状态 ;

③ 修改 前者 的状态 : 同时将 $a$a 对应自动机的接受状态 改为非接受状态 ;

下面是 $ab$ab 正则表达式 表达的语言 对应的自动机表示 :

3 . $ab \cup a$ab∪a 对应自动机构造 :

① 添加新开始状态 : 重新添加一个开始状态 ;

② 连接并运算前者 : 使用 $\varepsilon$ε 箭头 从这个新添加的开始状态 指向 $ab$ab 自动机开始状态 ;

③ 连接并运算后者 : 使用 $\varepsilon$ε 箭头 从这个新添加的开始状态 指向 $a$a 自动机开始状态 ;

下面是 $ab \cup a$ab∪a 正则表达式 表达的语言 对应的自动机表示 :

4 . $( ab \cup a )^*$(ab∪a)∗ 对应自动机构造 :

① 构造方法 : 就是 在 $( ab \cup a )$(ab∪a) 对应自动机的基础上 , 使用 $\varepsilon$ε 箭头 , 从 接受状态 指向 开始状态 ;

② 连接个数 : 所有的接受状态 , 都 使用 $\varepsilon$ε 箭头 指向开始状态 , 这里有两个接受状态 , 需要都指向开始状态 ;