李群与李代数

群

群的定义:
群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构
若记集合为A，运算为·，那么当运算满足以下性质时，称(A,·)成群

1. 封闭性：$\forall a_1,a_2\in A,\quad a_1·a_2\in A$∀a1​,a2​∈A,a1​⋅a2​∈A
2. 结合律：$\forall a_1,a_2,a_3\in A,\quad(a_1·a_2)·a_3=a_1·(a_2·a_3)$∀a1​,a2​,a3​∈A,(a1​⋅a2​)⋅a3​=a1​⋅(a2​⋅a3​)
3. 幺元：$\exists a_o\in A,\quad s.t. \quad \forall a\in A\quad a·a_0=a_0·a=a$∃ao​∈A,s.t.∀a∈Aa⋅a0​=a0​⋅a=a
4. 逆：$\forall a \in A,\quad \exists a^{-1} \in A,\quad s.t. \quad a·a^{-1}=a_0$∀a∈A,∃a−1∈A,s.t.a⋅a−1=a0​

容易验证:
旋转矩阵集合与矩阵乘法成群
变换矩阵集合与矩阵乘法成群

李群与李代数

李群
具有连续(光滑)性质的群，既是群也是流形
李代数
与李群对应的一种结构，位于向量空间
每个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群单位元附近的正切空间的性质
事实上是李群单位元处的正切空间

指数映射与对数映射

高翔大佬14讲中的结论

李代数求导与扰动模型

Sophus库的使用