【概率论】条件分布与独立性（上）

条件分布律 一般地,有如下定义.设(X,Y)为离散型二维随机变量，其分布律为$p_{ij}=P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\},i,j=1,2, \cdots$pij​=P{X=xi​,Y=yj​},i,j=1,2,⋯
若对于固定的$x_{i}$xi​,$P\left\{X=x_{i}\right\}>0,$P{X=xi​}>0, 则称条件概率$P\left\{Y=y_{j} | X=x_{i}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{X=x_{i}\right\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i}}$P{Y=yj​∣X=xi​}=P{X=xi​}P{X=xi​,Y=yj​}​=pi​pij​​
为在X为$x_{i}$xi​条件下, Y的条件分布律(同理定义Y为$y_{i}$yi​条件下, X的条件分布律).

注1：条件分布律也是分布律.因为$P\left\{Y=y_{j} | X=x_{i}\right\} \geq 0$P{Y=yj​∣X=xi​}≥0且$\sum_{j} P\left\{Y=y_{j} | X=x_{i}\right\}=\frac{\sum p_{i j}}{p_{i}}=\frac{p_{i}}{p_{i}}=1$∑j​P{Y=yj​∣X=xi​}=pi​∑pij​​=pi​pi​​=1

例1：昆虫产卵，设某种昆虫产卵数$X \sim P(\lambda)$X∼P(λ), 设卵的孵化率为$p$p，孵化数记为$Y$Y,求

a)$X,Y$X,Y的联合分布律;

b)$X,Y$X,Y的边缘分布律;

b)求$P\{X=i|Y=j\}$P{X=i∣Y=j}.

解：a) 由题意知, 当产卵数x固定时,$Y \sim B(x, p),$Y∼B(x,p),故由乘法公式：
$p_{i j}=P\{X=i, Y=j\}=P\{Y=j | X=i\} \cdot P\{X=i\}=\left(\begin{array}{c}i \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{i-j} \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i !}, \quad i \geq j, \quad i=0,1, \dots$pij​=P{X=i,Y=j}=P{Y=j∣X=i}⋅P{X=i}=(ij​)pj(1−p)i−j⋅e−λi!λi​,i≥j,i=0,1,…

b)$p_{i \cdot}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i !}, \quad i=0,1, \ldots \quad p_{\cdot j}=e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^{j}}{j !}, \quad j=0,1, \cdots$pi⋅​=e−λi!λi​,i=0,1,…p⋅j​=e−λpj!(λp)j​,j=0,1,⋯
c)

这表明在$Y=j$Y=j的条件下，产卵数i与j的差服从$P(\lambda(1-p))$P(λ(1−p))

条件概率密度函数:若(X, Y)为连续型随机变量,由于所有形如P{X=x, Y=y}的式子均为0.为此，将条件Y=y放宽为$Y\in(y-\varepsilon, y+\varepsilon],$Y∈(y−ε,y+ε],即考虑条件概率
$P\{X\leq x | y-\varepsilon \leq Y \leq y+\varepsilon\} \\ =\frac{P\{X \leq x, y-\varepsilon \leq Y \leq y+\varepsilon\}}{P\{y-\varepsilon \leq Y \leq y+\varepsilon\}} \\ =\frac{\int_{-\infty}^{x} \int_{y-\varepsilon}^{y+\varepsilon} f(u, v) d u d v}{\int_{y-\varepsilon}^{y+\varepsilon} f_{Y}(v) d v}$P{X≤x∣y−ε≤Y≤y+ε}=P{y−ε≤Y≤y+ε}P{X≤x,y−ε≤Y≤y+ε}​=∫y−εy+ε​fY​(v)dv∫−∞x​∫y−εy+ε​f(u,v)dudv​

利用积分中值定理:
$上式=\frac{2 \varepsilon \int_{-\infty}^{x} f(u, \eta) d u}{2 \varepsilon f_{Y}(\xi)}$上式=2εfY​(ξ)2ε∫−∞x​f(u,η)du​
$令\varepsilon \rightarrow 0, \eta, \xi \rightarrow y$令ε→0,η,ξ→y,若$f(u, v)$f(u,v)是连续的, 则应有上式收敛于$\frac{\int_{-\infty}^{x} f(u, y) d u}{f_{Y}(y)}$fY​(y)∫−∞x​f(u,y)du​
，上式称为在Y=y条件下x的分布函数，因此将其对x求导得：
$f(x | y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}, & f_{Y}(y)>0 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.$f(x∣y)={fY​(y)f(x,y)​,0,​fY​(y)>0 其他 ​
称为是在Y=y条件下,x的条件密度,记为 $f_{X | Y}(x | y)$fX∣Y​(x∣y)，同理定义 $f_{Y | X}(y | x)$fY∣X​(y∣x)

注1：条件密度函数也是密度函数，容易验证其非负性和正则性

注2：其含义是将二维分布限制在直线$Y=y$Y=y上，X的分布.其分布关系与二维分布一致，但相差一个规范化因子$f_{Y}(y)$fY​(y),因为这块截痕的面积为$f_{Y}(y)$fY​(y)，如图：