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题目

令（X，Y）是随机点，均匀地选自区域 $R=\left\{(x,y):|x|+|y|\leq1 \right\}$R={(x,y):∣x∣+∣y∣≤1}.
a.画出R.
b.利用你画出的草图计算X和Y的边际密度.注意积分区域
c.计算给定X时Y的条件密度

解题思路

a.画出R.

b.利用你画出的草图计算X和Y的边际密度.注意积分区域

X,Y在区域内均匀取点，说明在区域内是均匀分布所以$f(x,y)=\frac{1}{R的面积}=\frac12$f(x,y)=R的面积1​=21​

$\begin{aligned} f_{X}(x)&=\int f(x,y)dy\\ &=\int \frac12dy \end{aligned}$fX​(x)​=∫f(x,y)dy=∫21​dy​
确定积分上下限和积分区域
在$x\leq0$x≤0 时,y=1+x 又由于关于x轴是对称的所以原积分式可以确定为：
$\begin{aligned} f_{X}(x)=2*\int_{0}^{1+x} \frac12dy=1+x \quad x\leq0 \end{aligned}$fX​(x)=2∗∫01+x​21​dy=1+xx≤0​
在$x\geq0$x≥0 时,y=1-x 又由于关于x轴是对称的所以原积分式可以确定为：
$\begin{aligned} f_{X}(x)=2*\int_{0}^{1+x} \frac12dy=1-x \quad x\geq0 \end{aligned}$fX​(x)=2∗∫01+x​21​dy=1−xx≥0​
合并上述等式：
$f_{X}(x)=1-|x| \quad -1\leq x \leq 1$fX​(x)=1−∣x∣−1≤x≤1
计划$f_Y(y)$fY​(y)的方法与计算$f_X(x)$fX​(x)是一致的：
$f_{Y}(y)=1-|y| \quad -1\leq y \leq 1$fY​(y)=1−∣y∣−1≤y≤1

c.计算给定X时Y的条件密度

$\begin{aligned} f_{X|Y}(x|y)&=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y{y}}=\frac{\frac12}{1-|y|}\\ &=\frac1{2-2|y|}\quad 1-|y|\leq x \leq 1+|y| \end{aligned}$fX∣Y​(x∣y)​=fY​yfXY​(x,y)​=1−∣y∣21​​=2−2∣y∣1​1−∣y∣≤x≤1+∣y∣​
$\begin{aligned} f_{Y|X}(y|x)&=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X{x}}=\frac{\frac12}{1-|x|}\\ &=\frac1{2-2|x|}\quad 1-|x|\leq y \leq 1+|x| \end{aligned}$fY∣X​(y∣x)​=fX​xfXY​(x,y)​=1−∣x∣21​​=2−2∣x∣1​1−∣x∣≤y≤1+∣x∣​