两个杯子倒水问题求解及过程

倒水问题求解及过程

小时候，经常会遇到用两个容积不同的杯子（比如3L和5L），水源无限的情况下，倒出各种容积的水，早上突然脑洞一下，得到了一个不错的想法和倒水的步骤，就记了下来。
公式为：
ML1+NL2=V
在这里，L1和L2分别是杯子的容积，M和N分别是系数（只能取正整数和负整数），V是求解的结果，也就是能倒出水的容积（0≤V≥(L1+L2)）

例子：
还是以上文中说的3L和5L杯子为例，即L1=3和L2=5，那么公式可以写成：
3M+2N=V（0≤V≥8）

倒水结果：
第一种情况： M=0, N=0, V=0 (嗯这个最好理解~)
第二种情况： M=1, N=1, V=8 (嗯这个也好理解~哈哈，这两种方法为了使得答案具有完备性，固写出来，重点看后面几种情况)

第三种情况： M=2, N=-1, V=1 or M=-3, N=2, V=1 …
第四种情况： M=-1, N=1, V=2 or M=4, N=-3, V=2 …
第五种情况： M=1, N=0, V=3 （只有L1装水）
第六种情况： M=3, N=-1, V=4 or M=-2, N=2, V=4 …
第七种情况： M=0, N=1, V=5 （只有L2装水）
第八种情况： M=7, N=-5, V=6 or M=-3, N=3, V=6 …
第九种情况： M=4, N=-1, V=7 or M=-1, N=2, V=7 …

倒水过程：
可以从上面看出，0~8所有的整数都能得到，是不是有疑问？
之所以把所有的M和N写出来，因为这些数字还暗含着倒水的过程，再接着举例子：
M=-3, N=3, V=6 ；
重点：整数代表接水，负数代表倒出，数字就代表L1和L2使用的次数
L1倒出去3次，L2接了3次，步骤如下：

画图步骤理解应该清晰一点，图有点粗糙，凑合凑合。从图中可以看出，分别使用L1倒出3杯水和L2接了三杯水，能够倒出6L的水，符合题意。

因此，刚才列出的9种情况，都能够按照这样的方法，依靠公式先求出目标的结果，再根据M和N的正负大小，可以依次还原出倒水的全过程。

tips:
L1和L2分别为3和5，当知道1L和2L都能倒出的时候，后面的4，6，7都能求出，因为1，2，3，5这些数，组合求和满足结果。就如同只依靠人民币10元、20元、50元，能够凑齐所有整数目（10的倍数）。