6天通吃树结构—— 第四天 伸展树
我们知道AVL树为了保持严格的平衡，所以在数据插入上会呈现过多的旋转，影响了插入和删除的性能，此时AVL的一个变种
伸展树（Splay）就应运而生了，我们知道万事万物都遵循一个“八二原则“，也就是说80%的人只会用到20%的数据，比如说我们
的“QQ输入法”，平常打的字也就那么多，或许还没有20%呢。
一：伸展树
1：思想
伸展树的原理就是这样的一个”八二原则”，比如我要查询树中的“节点7”，如果我们是AVL的思路，每次都查询“节点7”，那么当这
棵树中的节点越来越多的情况下就会呈现下旋，所以复杂度只会递增，伸展树的想法就是在第一次查询时树里面会经过一阵痉挛把
“节点7”顶成“根节点”，操作类似AVL的双旋转，比如下图:
当我们再次查询同样的”数字7“时，直接在根节点处O（1）取出，当然这算是一个最理想的情况，有时痉挛过度，会出现糟糕的”链表“，
也就退化了到O(N)，所以伸展树讲究的是”摊还时间“，意思就是说在”连续的一系列操作中的平均时间“，当然可以保证是log（N）。
2：伸展方式
不知道大家可否记得，在AVL中的旋转要分4个情况，同样伸展树中的伸展需要考虑6种情况，当然不考虑镜像的话也就是3种情况，
从树的伸展方向上来说有“自下而上”和“自上而下"的两种方式，考虑到代码实现简洁，我还是说下后者。
<1> 自上而下的伸展
这种伸展方式会把树切成三份，L树，M树，R树，考虑的情况有：单旋转，“一字型”旋转，“之字形”旋转。
①： 单旋转
从图中我们可以看到，要将“节点2”插入到根上，需要将接近于“节点2”的数插入到根上，也就是这里的“节点7”，首先树被分成了3份，
初始情况，L和R树是“空节点”，M是整棵树，现在需要我们一步一步拆分，当我们将“节点2”试插入到“节点7”的左孩子时，发现“节点7”
就是父节点，满足“单旋转”情况，然后我们将整棵树放到“R树”中的left节点上，M此时是一个逻辑上的空节点，然后我们将R树追加到
M树中。L树追加到M的左子树中，最后我们将“节点2”插入到根节点上。说这么多有点拗口，伸展树比较难懂，需要大家仔细品味一下。
②： 一字型
一字型旋转方式与我们AVL中的“单旋转”类似，首先同样我们切成了三份，当我们"预插入20时”，发现20的“父节点”是根的右孩子，
而我们要插入的数字又在父节点的右边，此时满足”一字型“旋转，我们将7，10两个节点按照”右右情况”旋转，旋转后“节点10"的
左孩子放入到L树的right节点，"节点10”作为中间树M，最后将20插入根节点。
③： 之字形
之字形有点类似AVL中的“双旋转”，不过人家采取的策略是不一样的，当我们试插入“节点9”，同样发现“父节点”是根的右儿子，并且
“节点9”要插入到父节点的内侧，根据规则，需要将“父节点10”作为M树中的根节点，“节点7”作为L树中的right节点，然后M拼接L和R，
最后将节点9插入到根上。
3：基本操作
①：节点定义
我们还是采用普通二叉树中的节点定义，也就没有了AVL那么烦人的高度信息。
public class BinaryNode<T>
{
// Constructors
public BinaryNode(T theElement) : this(theElement, null, null) { }
public BinaryNode(T theElement, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt)
{
element = theElement;
left = lt;
right = rt;
}
public T element;
public BinaryNode<T> left;
public BinaryNode<T> right;
}②：伸展
这里为了编写代码方便，我采用的是逻辑nullNode节点，具体伸展逻辑大家可以看上面的图。
#region 伸展
/// <summary>
/// 伸展
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public BinaryNode<T> Splay(T Key, BinaryNode<T> tree)
{
BinaryNode<T> leftTreeMax, rightTreeMin;
header.left = header.right = nullNode;
leftTreeMax = rightTreeMin = header;
nullNode.element = Key;
while (true)
{
int compareResult = Key.CompareTo(tree.element);
if (compareResult < 0)
{
//如果成立，说明是”一字型“旋转
if (Key.CompareTo(tree.left.element) < 0)
tree = rotateWithLeftChild(tree);
if (tree.left == nullNode)
break;
//动态的将中间树的”当前节点“追加到 R 树中，同时备份在header中
rightTreeMin.left = tree;
rightTreeMin = tree;
tree = tree.left;
}
else if (compareResult > 0)
{
//如果成立，说明是”一字型“旋转
if (Key.CompareTo(tree.right.element) > 0)
tree = rotateWithRightChild(tree);
if (tree.right == nullNode)
break;
//动态的将中间树的”当前节点“追加到 L 树中，同时备份在header中
leftTreeMax.right = tree;
leftTreeMax = tree;
tree = tree.right;
}
else
{
break;
}
}
/* 剥到最后一层，来最后一次切分 */
//把中间树的左孩子给“左树”
leftTreeMax.right = tree.left;
//把中间树的右孩子给“右树”
rightTreeMin.left = tree.right;
/* 合并操作 */
//将头节点的左树作为中间树的左孩子
tree.left = header.right;
//将头结点的右树作为中间树的右孩子
tree.right = header.left;
return tree;
}
#endregion③：插入
插入操作关键在于我们要找到接近于”要插入点“的节点，然后顶成“根节点”，也就是上面三分图中的最后一分。
#region 插入
/// <summary>
/// 插入
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
public void Insert(T Key)
{
if (newNode == null)
newNode = new BinaryNode<T>(default(T));
newNode.element = Key;
if (root == nullNode)
{
newNode.left = newNode.right = nullNode;
root = newNode;
}
else
{
root = Splay(Key, root);
int compareResult = Key.CompareTo(root.element);
if (compareResult < 0)
{
newNode.left = root.left;
newNode.right = root;
root.left = nullNode;
root = newNode;
}
else
if (compareResult > 0)
{
newNode.right = root.right;
newNode.left = root;
root.right = nullNode;
root = newNode;
}
else
return;
}
newNode = null;
}
#endregion④：删除
删除操作也要将节点伸展到根上，然后进行删除，逻辑很简单。
#region 删除
/// <summary>
/// 删除
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
public void Remove(T Key)
{
BinaryNode<T> newTree;
//将删除结点顶到根节点
root = Splay(Key, root);
//不等于说明没有找到
if (root.element.CompareTo(Key) != 0)
return;
//如果左边为空，则直接用root的右孩子接上去
if (root.left == nullNode)
{
newTree = root.right;
}
else
{
newTree = root.left;
newTree = Splay(Key, newTree);
newTree.right = root.right;
}
root = newTree;
}
#endregion总的运行代码如下：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace DataStructSplay
{
public class BinaryNode<T>
{
public BinaryNode(T theElement) : this(theElement, null, null) { }
public BinaryNode(T theElement, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt)
{
element = theElement;
left = lt;
right = rt;
}
public T element;
public BinaryNode<T> left;
public BinaryNode<T> right;
}
public class SplayTree<T> where T : IComparable
{
public BinaryNode<T> root;
public BinaryNode<T> nullNode;
public BinaryNode<T> header = new BinaryNode<T>(default(T));
public BinaryNode<T> newNode;
public SplayTree()
{
nullNode = new BinaryNode<T>(default(T));
nullNode.left = nullNode.right = nullNode;
root = nullNode;
}
#region 插入
/// <summary>
/// 插入
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
public void Insert(T Key)
{
if (newNode == null)
newNode = new BinaryNode<T>(default(T));
newNode.element = Key;
if (root == nullNode)
{
newNode.left = newNode.right = nullNode;
root = newNode;
}
else
{
root = Splay(Key, root);
int compareResult = Key.CompareTo(root.element);
if (compareResult < 0)
{
newNode.left = root.left;
newNode.right = root;
root.left = nullNode;
root = newNode;
}
else
if (compareResult > 0)
{
newNode.right = root.right;
newNode.left = root;
root.right = nullNode;
root = newNode;
}
else
return;
}
newNode = null;
}
#endregion
#region 是否包含
/// <summary>
/// 是否包含
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
/// <returns></returns>
public bool Contains(T Key)
{
if (isEmpty())
return false;
root = Splay(Key, root);
return root.element.CompareTo(Key) == 0;
}
#endregion
#region 判断是否为空
/// <summary>
/// 判断是否为空
/// </summary>
/// <returns></returns>
public bool isEmpty()
{
return root == nullNode;
}
#endregion
#region 伸展
/// <summary>
/// 伸展
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public BinaryNode<T> Splay(T Key, BinaryNode<T> tree)
{
BinaryNode<T> leftTreeMax, rightTreeMin;
header.left = header.right = nullNode;
leftTreeMax = rightTreeMin = header;
nullNode.element = Key;
while (true)
{
int compareResult = Key.CompareTo(tree.element);
if (compareResult < 0)
{
//如果成立，说明是”一字型“旋转
if (Key.CompareTo(tree.left.element) < 0)
tree = rotateWithLeftChild(tree);
if (tree.left == nullNode)
break;
//动态的将中间树的”当前节点“追加到 R 树中，同时备份在header中
rightTreeMin.left = tree;
rightTreeMin = tree;
tree = tree.left;
}
else if (compareResult > 0)
{
//如果成立，说明是”一字型“旋转
if (Key.CompareTo(tree.right.element) > 0)
tree = rotateWithRightChild(tree);
if (tree.right == nullNode)
break;
//动态的将中间树的”当前节点“追加到 L 树中，同时备份在header中
leftTreeMax.right = tree;
leftTreeMax = tree;
tree = tree.right;
}
else
{
break;
}
}
/* 剥到最后一层，来最后一次切分 */
//把中间树的左孩子给“左树”
leftTreeMax.right = tree.left;
//把中间树的右孩子给“右树”
rightTreeMin.left = tree.right;
/* 合并操作 */
//将头节点的左树作为中间树的左孩子
tree.left = header.right;
//将头结点的右树作为中间树的右孩子
tree.right = header.left;
return tree;
}
#endregion
#region 删除
/// <summary>
/// 删除
/// </summary>
/// <param name="Key"></param>
public void Remove(T Key)
{
BinaryNode<T> newTree;
//将删除结点顶到根节点
root = Splay(Key, root);
//不等于说明没有找到
if (root.element.CompareTo(Key) != 0)
return;
//如果左边为空，则直接用root的右孩子接上去
if (root.left == nullNode)
{
newTree = root.right;
}
else
{
newTree = root.left;
newTree = Splay(Key, newTree);
newTree.right = root.right;
}
root = newTree;
}
#endregion
#region 右旋转
/// <summary>
/// 右旋转
/// </summary>
/// <param name="k1"></param>
/// <returns></returns>
public BinaryNode<T> rotateWithRightChild(BinaryNode<T> k1)
{
BinaryNode<T> k2 = k1.right;
k1.right = k2.left;
k2.left = k1;
return k2;
}
#endregion
#region 左旋转
/// <summary>
/// 左旋转
/// </summary>
/// <param name="k2"></param>
/// <returns></returns>
public BinaryNode<T> rotateWithLeftChild(BinaryNode<T> k2)
{
BinaryNode<T> k1 = k2.left;
k2.left = k1.right;
k1.right = k2;
return k1;
}
#endregion
}
}伸展树可以总结成一幅图：