（个人笔记，由于刚开始学习再加上英语不太好，所以有的地理解的可能不太对，望指正）

Chapter 6 Transformation Matrices

6.1 2D Linear Transformation

6.1.1 Scaling

$scale(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}$scale(sx​,sy​)=[sx​0​0sy​​]

6.1.2 Shearing

$shearX(s) = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ shearY(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \end{bmatrix}$shearX(s)=[10​s1​]shearY(s)=[1s​01​]

shear操作可以看作是只沿一个方向进行旋转

6.1.3 Rotation

$rotate(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{bmatrix}$rotate(ϕ)=[cosϕsinϕ​−sinϕcosϕ​]

计算过程：

$r = \sqrt{x_a^2 + y_a^2} \\ x_a = r cos\alpha \\ y_a = r sin \alpha \\ x_b = r cos(\alpha + \phi) = rcos\alpha cos\phi - rsin\alpha sin\phi \\ y_b = r sin(\alpha + \phi) = rsin\alpha cos\phi + rcos\alpha sin\phi$r=xa2​+ya2​​xa​=rcosαya​=rsinαxb​=rcos(α+ϕ)=rcosαcosϕ−rsinαsinϕyb​=rsin(α+ϕ)=rsinαcosϕ+rcosαsinϕ

如图所示：

旋转矩阵是正交矩阵

6.1.4 Reflection

$reflectY = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ reflectX = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$reflectY=[−10​01​]reflectX=[10​0−1​]

6.1.5 Composition and Decomposition of Transformations

6.1.6 Decoposition of Transformations

Symmetric Eigenvalue Decomposition

对于对称矩阵来说，可以进行以下分解过程：

$A = RSR^{T}$A=RSRT

R表示旋转，S表示缩放。

Singular Value Decomposition

对于非对称矩阵来说，可以使用奇异值分解。

$A = USV^{T}$A=USVT

对于奇异值分解来说UV可能不表示旋转，也可能表示反射，可以通过行列式的值判断：+1表示旋转，-1表示反射。

Paeth Decomposition of Rotations

使用shear操作代替旋转操作

$\begin{bmatrix} cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & \frac{cos\phi-1}{sin\phi} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ sin\phi & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac{cos\phi-1}{sin\phi} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$[cosϕsinϕ​−sinϕcosϕ​]=[10​sinϕcosϕ−1​1​][1sinϕ​01​][10​sinϕcosϕ−1​1​]

该转化对于raster rotation非常有效，因为对于raster operation来说，shear操作是很高效的。

6.2 3D Linear Transformations

缩放

$scale(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix}$scale(sx​,sy​,sz​)=⎣⎡​sx​00​0sy​0​00sz​​⎦⎤​

旋转

$rotateZ(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ rotateX(\phi)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \\ cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \end{bmatrix} \\ rotateY(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi & 0 & sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\phi & 0 & cos\phi \end{bmatrix}$rotateZ(ϕ)=⎣⎡​cosϕsinϕ0​−sinϕcosϕ0​001​⎦⎤​rotateX(ϕ)=⎣⎡​1cosϕsinϕ​0−sinϕcosϕ​00​⎦⎤​rotateY(ϕ)=⎣⎡​cosϕ0−sinϕ​010​sinϕ0cosϕ​⎦⎤​

shear

$shearX(d_y, d_z) = \begin{bmatrix} 1 & d_y & d_z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$shearX(dy​,dz​)=⎣⎡​100​dy​10​dz​01​⎦⎤​

6.2.1 Arbitrary 3D Rotation

绕任意向量旋转，可以首先将以该向量建立一个基，从该坐标系转换到标准坐标系，利用绕坐标轴旋转完成之后，再利用旋转矩阵的逆矩阵转回来:

$\begin{bmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ x_w & y_w & z_w \end{bmatrix}$⎣⎡​xu​yu​zu​​xv​yv​zv​​xw​yw​zw​​⎦⎤​⎣⎡​cosϕsinϕ0​−sinϕcosϕ0​001​⎦⎤​⎣⎡​xu​xv​xw​​yu​yv​yw​​zu​zv​zw​​⎦⎤​

If we have a rotation matrix and we wish to have the rotation in axis-angle form, we can compute the one real eigenvalue (which will be λ = 1), and the corresponding eigenvector is the axis of rotation. This is the one axis that is not changed by the rotation.

6.2.2 Transforming Normal Vectors

法线向量的变换不能直接用顶点转换矩阵M进行转换

设法线为n，切线为t，法线转化矩阵为N。

首先有

$n^{T}t = 0$nTt=0

那么经过转换之后法线和切线也仍然垂直，所以有

$n^{T}_Nt_M = 0 \ \ \ (6-1)$nNT​tM​=0   (6−1)

推导

$n^Tt=n^TIt=n^TM^{-1}Mt=0 \\ (n^TM^{-1})t_M=0\\$nTt=nTIt=nTM−1Mt=0(nTM−1)tM​=0

根据6-1，可得

$n^{T}_N = n^TM^{-1} \\ n_N = (n^TM^{-1})^{T} = (M^{-1})^{T}n$nNT​=nTM−1nN​=(nTM−1)T=(M−1)Tn

所以法线转换矩阵为$(M^{-1})^{T}$(M−1)T

6.3 Translation and Affine Transformations