延迟环节对控制系统的影响

本文内容来自知乎浅谈控制器的增益大小（下）

区分惯性环节与延迟环节

惯性环节$\frac{1}{(Ts+1)}$(Ts+1)1​从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；

延迟环节$e^{-\tau s}$e−τs从输入开始后在$0 -\tau$0−τ时间内没有输出，但$t=\tau$t=τ之后，输出完全等于输入。

时域角度来分析延迟环节对控制系统的影响

先来看纯延时环节的传递函数：$e^{-\tau s}$e−τs
如果延迟环节在闭环外$e^{-\tau s}G(s)$e−τsG(s)
那么对系统的影响最多是输入输出之间慢了一点，并不会使系统失稳；但是当它存在于闭环之间时，系统的闭环传递函数就变成了$G_c(s)=\frac{G(s)}{1+e^{-\tau s}G(s)}$Gc​(s)=1+e−τsG(s)G(s)​
系统的闭环极点改变了，这带来了动态性能的改变。
接下来尝试使用根轨迹的方法来分析这个带延时的系统，我们可以使用惯性环节来近似延迟环节
$(\frac{1}{Ts+1})^N$(Ts+11​)N
N越大，近似越精确。
首先使用一个一阶系统来近似延迟环节，看看其对二阶系统的影响$G(s)=(\frac{20}{s+20})(\frac{100}{s^2+10s+100})$G(s)=(s+2020​)(s2+10s+100100​)

原系统的根轨迹

加入延迟环节的根轨迹

从根轨迹上来看，原有的根轨迹的相角条件不再成立，极点有向右半平面移动的趋势，
当控制器增益变大的时候，不仅延迟环节的额外极点会离开实轴，并走向右半平面，延迟环节带来的额外等效极点也可能走向右半平面，也就是说会不稳定。不用走到右半平面，大家都知道，当主导极点有虚部的时候，系统是会有震荡的。这也就是很多带延迟的系统容易震荡的原因。

遇到控制中，增大控制器增益的时候会遇到周期震荡加剧，可以考虑下是否存在着严重的延迟。想避免震荡降低增益是一个直接的办法，但是又想要高响应速度以及良好的抗扰性能，那么就需要诸如史密斯补偿器，干扰观测器，或者基于模型的PID设计了。

拓展：

在上述引入延迟环节的系统中加入适当的零点，再来看其根轨迹

可以得到以下闭环系统的零点抵消震荡的原理：
（1）形成偶极子抵消在虚轴上有分量的震荡极点。
（2）把震荡极点拉到实轴上来