S3为例说明群G的某个元素的中心化子和x的G-轨道既是x的共轭类和群G的中心等概念

群S3={(1)(12)(13)(23)(123)(132)}，共六个元素。

 

(12)(13)(23)相似，

(123)(132)相似。

(1)(12)(1)^-1=(12)

(12)(12)(12)^-1=(12)

(13)(12)(13)^-1=(23)

23)(12)(23)^-1=(13)

(123)(12)(123)^-1=(23)

(132)(12)(132)^-1=(13)

也就是g(12)g^-1={(12)(13)(23)}

同理可以验证g(13)g^-1={(12)(13)(23)}

g(23)g^-1={(12)(13)(23)}

另一方面

g(123)g^-1={(123)(132)}

g(132)g^-1={(123)(132)}

第二个问题：群G中元素a的中心化子，就是G中和a可以交换的元素的全体，ga=ag，

比如S3中可以和(12)交换的有(1)(12)，

(1)(12)=(12)(1)

(12)(12)=(12)(12)

Gx={(1)(12)}

|Gx|=2

|G(x)|=3

|G(x)|=|G|/|Gx|

G的中心记作Z(G)，就是和G中所有都可以交换的元素的全体。S3中，只有一个元素e可以和G中所有元素交换。

|G|=|Z(G)|+∑|G(x)|

其中x是非G的中心元素的共轭类的代表元，比如我们选(12)作为{(12)(13)(23)}的代表元和(123)作为{(123)(132)}的代表元，

这些元素的所在的共轭类的阶。

最后的结果是6=1+3+2。