MATLAB中针对任务参数识别的无条件优化方法——恒定温度下水温冷却

在MATLAB中研究无条件优化的函数，以解决应用的工程问题：用给定的数学模型结构确定动态系统的参数。

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工作目的
在MATLAB中研究无条件优化的函数，以解决一个应用的工程问题：用给定的数学模型结构确定动态系统的参数。

主要理论规定
动态系统以各种方式描述，其中之一是常微分方程。
$x'=f(t, x), x(0)=x_{0}$x′=f(t,x),x(0)=x0​

在某些情况下，方程式的一般形式是已知的。例如，对于环境温度恒定的冷却物体，牛顿提出了一阶微分方程。
$\begin{aligned} &T'=K\left(T-T_{cnv}\right)\\ &T(0)=T_{0} \end{aligned}$​T′=K(T−Tcnv​)T(0)=T0​​

其中T0是初始温度，Tenv是环境温度，K <0是一个常数，如果一阶方程式（2）不能很好地描述实际过程的动力学，则可以使用二阶方程式。

$\begin{aligned} &T'^{\prime}=K_{1}\left(T-T_{cnv}\right)+K_{2} T'\\ &T(0)=T_{0} \end{aligned}$​T′′=K1​(T−Tcnv​)+K2​T′T(0)=T0​​

要求解方程式，我们需要采用普通的柯西形式。为此，您需要引入一个虚拟变量，该变量负责冷却速率r，该变量等于对象温度的一阶导数。然后，方程组将采用以下形式。
$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} T^{\prime}=r \\ r^{\prime}=K_{1}\left(T-T_{cnv}\right)+K_{2} r \end{array}\right.\\ &T(0)=T_{0}, r(0)=r_{0} \end{aligned}$​{T′=rr′=K1​(T−Tcnv​)+K2​r​T(0)=T0​,r(0)=r0​​

更准确地说，如果在方程系统中考虑了其他反馈，则可以选择模型。
$\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} T^{\prime}=K_{3} T+K_{4} r \\ r=K_{1}\left(T-T_{cnv}\right)+K_{2} r \end{array}\right.\\ &T(0)=T_{0}, r(0)=r_{0} \end{aligned}$​{T′=K3​T+K4​rr=K1​(T−Tcnv​)+K2​r​T(0)=T0​,r(0)=r0​​
为了找到微分方程的系数，必须解决优化问题-通过给定的微分方程，找到参数K或K1，K2，K3和K4，以便方程的解以最佳方式与实验数据匹配。指定数学模型的另一种方法是例如分数阶微分方程。
$\begin{aligned} &T^{(\alpha)}=K\left(T-T_{cnv}\right)\\ &T(0)=T_{0} \end{aligned}$​T(α)=K(T−Tcnv​)T(0)=T0​​
如果我们想象在α= 0.5时应用分数微分算子会得到整个导数的两倍，那么就可以理解分数阶的含义。在这种情况下，参数K和α被优化。

$图1 冷却杯的实验数据$图1冷却杯的实验数据

$图2 近似结果$图2近似结果

$图3 fminunc方法对优化1阶方程系数的有效性$图3fminunc方法对优化1阶方程系数的有效性
附上所有程序代码链接
https://download.csdn.net/download/woaihuazelei/12336083