第一章 离散时间信号与系统

1.1 离散时间信号与系统基础

1.1.1离散时间信号的定义和分类

1. 定义
   仅在某些离散时刻有定义，而在其他时间无定义的信号
2. 分类
   根据信号特征分类，包括确定信号和随机信号、实信号与复信号、能量信号与功率信号、(离散时间)周期信号与非周期信

1.1.2离散时间信号的差分与累积

差分和累加是个互逆过程

1.1.3离散时间信号相关函数及卷积表示

$r_{xy}(m)=x(m)*y^*(-m)$rxy​(m)=x(m)∗y∗(−m)

1.2离散时间信号与系统的傅里叶分析

1.2.1FS和FT

FS即傅里叶级数是针对周期信号的，而FT即傅里叶变换是针对非周期(周期→∞)信号

1.2.2FT的性质

1. 线性
2. 时移与频移
3. 共轭对称性 $f^(n)\leftrightarrow F^(-w) $,若f(n)为实信号，则傅里叶变换为共轭对称的
4. 频域微分
5. 帕斯瓦尔：能量守恒定律 $\sum_{n=-∞} ^{+∞} |f(n)|^2=\frac{1}{2Π}\int_{2Π}|F(w)|^2dw$n=−∞∑+∞​∣f(n)∣2=2Π1​∫2Π​∣F(w)∣2dw

1.3 LTI离散时间系统性能描述

这里系统性能指的是输入与输出的关系

1.3.1系统的记忆性

无记忆性：输出仅与当前时刻输入有关

1.3.2系统的因果性

因果性：输出与未来时刻的输入无关

$h(n)=0,n<0$h(n)=0,n<0

表现在ROC上则为：|z|>a或Re{s}>a (a为实数 )

1.3.3稳定性和最小相位系统

• 稳定性：输入有界，输出也有界
  • 表现在ROC上：（Z域）包含单位圆，（S域）包含y轴
• 最小相位系统：因果稳定系统的零极点都在单位圆内（本身极点必在单位圆内）

1.3.4群时延和线性相位系统

• 线性相位系统：系统的相频特性函数是频率w的线性函数
• 群时延：$\tau(w)=-\frac{d_{\Phi H}(w)}{dw}$τ(w)=−dwdΦH​(w)​ 即相频特性函数求负导数

1.4离散时间实信号的复数表示

1.4.1离散时间信号解析信号(预包络)

• 实信号具有共轭对称性(FT),因此单边频谱就可以包含信号的信息,这里(通常情况下)z(n)为复信号，称其为实信号f(n)的解析信号或预包络

• Z(w)为z(n)的FT

  $Z(w)= \begin{cases} 0, &\pi<w<0 \\ 2F(w),& 0<w<\pi \end{cases}$Z(w)={0,2F(w),​π<w<00<w<π​

1.4.2希尔伯特变换

• 个人理解：Hillbert变换是个能量守恒变换，仅改变了原函数的相位（anti-clock 90°）
• $H(w)=-jsgn(w)$H(w)=−jsgn(w).

1.4.3复包络

• 窄带实信号的复包络g(n)与解析信号z(n)的关系满足：$z(n)=g(n)e^{jw_0n}$z(n)=g(n)ejw0​n.

1.5多相滤波与信道化处理

1.5.1多相滤波结构

• 结构图

• 其中多相分量为$E_k(z^D)=\sum_{n=0}^{L-1}h(nD+k)(z^D)^{-n},k=0,1,...,D-1$Ek​(zD)=∑n=0L−1​h(nD+k)(zD)−n,k=0,1,...,D−1.
• 从多相分量可以看出：不同k有不同相位，故称为多相结构
• 采用多相结构的好处：采用更低的滤波阶数，如此提高了数据率

1.5.2 信道均匀化

• 概念：即将一个宽带信号通过滤波器组后，均匀地划分为K个子带(带宽一样)

为多相结构

• 采用多相结构的好处：采用更低的滤波阶数，如此提高了数据率

1.5.2 信道均匀化

• 概念：即将一个宽带信号通过滤波器组后，均匀地划分为K个子带(带宽一样)