控制系统中"带宽"的理解

本文来自对知乎文章如何入门自动控制的一些理解
首先来看几个概念：

带宽频率也称为闭环截止频率，是指当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3dB时，对应的频率，记作$w_b$wb​;

开环截止频率也称为剪切频率，是闭环系统的开环幅频特性中，幅频特性曲线穿越0dB线的频率，记为$w_c$wc​；

开环截止频率与闭环截止频率具有同向性:对一个闭环系统而言，其开环截止频率与闭环截止频率是两个完成不同的物理量，但它们之间又存在一定的相关性，即：开闭截止频率与其单位负反馈的闭环截止频率是同向增大的。且具有如下关系：$w_b>w_c$wb​>wc​。

下面首先通过一个例子来说明截止频率对系统性能的影响，最后再总结带宽对系统的影响：

以经典的弹簧阻尼系统为例，首先列写动力学方程：

$m\frac{d^2x}{dt^2}=F(t)-b\frac{dx}{dt}-kx$mdt2d2x​=F(t)−bdtdx​−kx

即：惯性力+阻尼力+弹性力=外界激励

其中$b=\sqrt{2}$b=2​为阻尼系数，$k=1$k=1为弹簧弹性系数，将上式写成微分方程的形式：

$\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{s^2+\sqrt{2}s+1}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}$F(s)X(s)​=s2+2​s+11​=s2+2ζwn​s+wn2​wn2​​

现在假设用一个交变的正弦力$F(t)=F_0sin(wt)$F(t)=F0​sin(wt)去激励这个弹簧振子，会出现什么响应呢呢？从之前的博客频域分析基础得到的结果：当给LTI系统一个正弦激励时，其响应也是一个正弦，而且频率不变。具体见下图：

改变输入信号的频率，得到的输出信号也只有幅值和相位的变化，信号频率始终不变，如下如所示：

我们画出系统的bode图如下：

可以看到，当频率小于$1rad/s$1rad/s时，幅值响应增益基本为1，也就是幅值基本和输入一致，相位落后约$0~-90deg$0 −90deg。当频率大于$1rad/s$1rad/s时，幅值响应开始迅速衰减，当频率增加至$100rad/s$100rad/s时，幅值响应为$-40dB$−40dB，也就是输入幅值的1%，相位落后接近180°。

可见，对于一个一般的线性时不变系统（LTI），系统具有低通特性；
我们把对应幅值响应$20lg|A_{out}/A_{in}|=20lg|0.707|=-3dB$20lg∣Aout​/Ain​∣=20lg∣0.707∣=−3dB时的频率称之为截止频率($w_c=1.27rad/s$wc​=1.27rad/s)，低于这个频率的系统能通过，高于这个频率的，系统会有较大幅度的过滤，幅值输出很小。特殊地，对于一个二阶系统，当阻尼比$\zeta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ζ=2​1​时，自然频率$w_n$wn​就代表了系统的截止频率。

举个例子：输入有两个正弦函数组成：$u=sin(0.5w_n t)+sin(10w_n t)$u=sin(0.5wn​t)+sin(10wn​t)，一个分量为截止频率一半，另一个分量是截止频率的10倍，观察系统的输出：

由上图可以看出，$0.5w_c$0.5wc​频率的分量能较好的通过，而$10w_c$10wc​频率分量则基本被过滤掉了。这是两个频率分量的情况，那假如更复杂一些的输入呢？比如常见的阶跃信号：

首先我们对系统的阶跃响应做频谱分析得到其频谱分布：

由图可知，阶跃函数在所有频率都有分量，而且随着频率的增加，其幅值越来越小，也就是低频下的分量贡献更多。假如现在输入是阶跃函数，那输出会是什么样？
（注意：$f(t)$f(t)在$t>0$t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在$t=0$t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在$t=0$t=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。）
我们可以得到系统的阶跃响应如下图：

输出整体来说，基本呈“阶跃”样貌，但是在细节上又有不同。现在，假如改变系统的截止频率：

如$w_c=3rad/s$wc​=3rad/s

如$w_c=10rad/s$wc​=10rad/s

可以看出，随着截止频率的增加，越来越多频率的分量能够通过系统，那输出也就更接近输入信号了。 控制系统中一般闭环系统居多，对闭环系统而言，其截止频率等于带宽；那么，从时域和频域的两个方面来看，系统的带宽(截止频率)越大，时域的响应速度也就越快，系统跟踪输入信号的能力就越强。当带宽无穷大时，系统可以完全复现输入信号，当然这是物理不可实现的。