二维高斯分布（Two-dimensional Gaussian distribution）

1、多维高斯分布的概率密度函数

多维变量$X=(x_1,x_2,...x_n)$X=(x1​,x2​,...xn​)的联合概率密度函数为：
　　　　　　　

其中：
　　d：变量维度。对于二维高斯分布，有d=2;
　　$u=(u_1 u_2 … u_n)$u=(u1​u2​…un​)：各位变量的均值；
　　Σ：协方差矩阵，描述各维变量之间的相关度。对于二维高斯分布，有：

后文主要分析均值和协方差矩阵对二维高斯分布的影响。

2、均值和协方差矩阵对二维高斯分布的影响

3、总结

①均值表征的是各维变量的中心，其对二维高斯曲面的影响较好理解，它使得整个二维高斯曲面在xoy平面上移动；
②对于协方差矩阵，对角线上的两个元素，即$\delta _{11}$δ11​和$\delta _{22}$δ22​表征的是x维和y维变量的方差，决定了整个高斯曲面在某一维度上的“跨度”，方差越大，“跨度”越大；
③协方差矩阵的斜对角线上面的两个元素，即$\delta _{12}$δ12​和$\delta _{21}$δ21​表征的是各维变量之间的相关性：δ12δ12>0说明x与y呈正相关（x越大，y越大），其值越大，正相关程度越大；$\delta _{12}$δ12​<0呈负相关；否则不相关。
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