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title: 直观理解梯度，以及法向量和切平面
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date: 2019-10-17 17:59:53
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写在前面

梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌生人”，仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实，为了“用得放心”，本文将尝试直观地回答以下几个问题，

• 梯度与偏导数的关系？
• 梯度与方向导数的关系？
• 为什么说梯度方向是上升最快的方向，负梯度方向为下降最快的方向？
• 梯度的模有什么物理意义？
• 等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线？
• 全微分与隐函数的梯度有什么关系？
• 梯度为什么有时又成了法向量？

闲话少说，书归正传。在全篇“作用域”内，假定函数可导。

偏导数

在博文《单变量微分、导数与链式法则 博客园 | **** | blog.shinelee.me》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，

导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢？则为偏导数。

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数，这里“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留一个变量，依次保留每个变量，则$N$N元函数有$N$N个偏导数。

以二元函数为例，令$z=f(x,y)$z=f(x,y)，绘制在3维坐标系如下图所示，

在分别固定$y$y和$x$x的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数，二维坐标系中的曲线——则偏导数$\frac{\partial {z}}{\partial {x}}$∂x∂z​和$\frac{\partial z}{\partial y}$∂y∂z​分别为曲线的导数（切线斜率）。

由上可知，一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。

方向导数

如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点$P$P位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative

方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义$xy$xy平面上一点$(a, b)$(a,b)以及单位向量$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$u=(cosθ,sinθ)，在曲面$z=f(x, y)$z=f(x,y)上，从点$(a,b, f(a,b))$(a,b,f(a,b))出发，沿$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$u=(cosθ,sinθ)方向走$t$t单位长度后，函数值$z$z为$F(t)=f(a+t \cos \theta, b + t \sin \theta)$F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点$(a,b)$(a,b)处$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$u=(cosθ,sinθ)方向的方向导数为：
$\begin{aligned} &\left.\frac{d}{d t} f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta)\right|_{t=0} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b+t \sin \theta)}{t} + \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \frac{\partial}{\partial x} f(a, b) \frac{d x}{d t}+\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \frac{d y}{d t} \\=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\=&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned}$=====​dtd​f(a+tcosθ,b+tsinθ)∣∣∣∣​t=0​t→0lim​tf(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)​t→0lim​tf(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b+tsinθ)​+t→0lim​tf(a,b+tsinθ)−f(a,b)​∂x∂​f(a,b)dtdx​+∂y∂​f(a,b)dtdy​fx​(a,b)cosθ+fy​(a,b)sinθ(fx​(a,b),fy​(a,b))⋅(cosθ,sinθ)​
上面推导中使用了链式法则。其中，$f_x (a, b)$fx​(a,b)和$f_y (a, b)$fy​(a,b)分别为函数在$(a, b)$(a,b)位置的偏导数。由上面的推导可知：

该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

写成向量形式，偏导数构成的向量为$\nabla f(a, b) = (f_x (a, b), f_y (a, b))$∇f(a,b)=(fx​(a,b),fy​(a,b))，称之为梯度。

梯度

梯度，写作$\nabla f$∇f，二元时为$(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{z}}{\partial{y}})$(∂x∂z​,∂y∂z​)，多元时为$(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{z}}{\partial{y}},\dots)$(∂x∂z​,∂y∂z​,…)。

我们继续上面方向导数的推导，$(a,b)$(a,b)处$\theta$θ方向上的方向导数为
$\begin{aligned} &\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \\ =& |((f_x (a, b), f_y (a, b))| \cdot |1| \cdot \cos \phi \\=& |\nabla f(a,b)| \cdot \cos \phi \end{aligned}$==​(fx​(a,b),fy​(a,b))⋅(cosθ,sinθ)∣((fx​(a,b),fy​(a,b))∣⋅∣1∣⋅cosϕ∣∇f(a,b)∣⋅cosϕ​
其中，$\phi$ϕ为$\nabla f(a,b)$∇f(a,b)与$\vec u$u的夹角，显然，当$\phi = 0$ϕ=0即$\vec u$u与梯度$\nabla f(a,b)$∇f(a,b)同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模$|\nabla f(a,b)|$∣∇f(a,b)∣，当$\phi = \pi$ϕ=π即$\vec u$u与梯度$\nabla f(a,b)$∇f(a,b)反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角$\phi < \frac{\pi}{2}$ϕ<2π​时方向导数为正，表示$\vec u$u方向函数值上升，$\phi > \frac{\pi}{2}$ϕ>2π​时方向导数为负，表示该方向函数值下降。

至此，方才有了梯度的几何意义：

1. 当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
2. 当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。

等高线图中的梯度

在讲解各种优化算法时，我们经常看到目标函数的等高线图示意图，如下图所示，来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain，

图中，红点为当前位置，红色箭头为梯度，绿色箭头为其他方向，其与梯度的夹角为$\theta$θ。

将左图中$z=f(x, y)$z=f(x,y)曲面上的等高线投影到$xy$xy平面，得到右图的等高线图。

梯度与等高线垂直。为什么呢？

等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为$z=f(x,y)=C$z=f(x,y)=C，$C$C为常数，两边同时全微分，如下所示

$\begin{aligned} dz = &\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\=& (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (dx, dy) \\=& dC = 0\end{aligned}$dz===​∂x∂f​dx+∂y∂f​dy(∂x∂f​,∂y∂f​)⋅(dx,dy)dC=0​

这里，两边同时全微分的几何含义是，在当前等高线上挪动任意一个极小单元，等号两侧的变化量相同。$f(x, y)$f(x,y)的变化量有两个来源，一个由$x$x的变化带来，另一个由$y$y的变化带来，在一阶情况下，由$x$x带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial x} dx$∂x∂f​dx，由$y$y带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial y} dy$∂y∂f​dy，两者叠加为$z$z的总变化量，等号右侧为常数，因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元，其变化量为0，左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式，$(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$(∂x∂f​,∂y∂f​)为梯度，$(dx, dy)$(dx,dy)为该点指向任意方向的极小向量，因为两者内积为0，所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。

更进一步地，梯度方向指向函数上升最快的方向，在等高线图中，梯度指向高度更高的等高线。

隐函数的梯度

同理，对于隐函数$f(x,y)=0$f(x,y)=0，也可以看成是一种等高线。二元时，两边同时微分，梯度垂直于曲线；多元时，两边同时微分，梯度垂直于高维曲面。

即，隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。

有了法向量，切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线$f(x , y)$f(x,y)上一点为$(a,b)$(a,b)，通过全微分得该点的梯度为$(f_x, f_y)$(fx​,fy​)，则该点处的切线为$f_x (x-a) + f_y (y-b) = 0$fx​(x−a)+fy​(y−b)=0，相当于将上面的微分向量$(dx, dy)$(dx,dy)替换为$(x-a, y-b)$(x−a,y−b)，其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。

小结

至此，文章开篇几个问题的答案就不难得出了，

• 偏导数构成的向量为梯度；
• 方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
• 梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
• 微分的结果为梯度与微分向量的内积
• 等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
• 隐函数可以看成是一种等高线，其梯度为高维曲面（曲线）的法向量

以上。

参考

• Gradients and Partial Derivatives
• Directional Derivative
• Applet: Gradient and directional derivative on a mountain
• Gradient descent
• Gradient
• Partial derivative
• ppt Partial derivative