Credit Risk Modeling

What the motivation to develop credit risk model?

需要量化地估算能够抵抗银行所可能遭遇的信用风险的经济资本(又称为风险资本，Economic Capital).巴塞尔国际标准开发了关于最小资本需求的一系列规范。

What is the core princinple of Basel about minimum capital requirement ?

Minimum capital requirement 即最小资本需求，在Basel协议框架下，最小资本必须是风险资本加权的一个比例值，例如：

mininum capital requirement = 8% $\times \sum$×∑ risk weighted assets

Basel III更加严格，还需要至少4.5%的CET1(Common Equity Tier1)，并且引入了资本缓冲区(Capital Buffer)

The credit loss distribution

• 所有的计算和建模都会基于一个时间段(time horizon)，Basel规定为一年。
• 信用风险有两大组成成分：Expected Loss 和 Unexpected Loss
• 1 - stess loss下的面积即为Value-at-risk，监管要求其置信水平为99.9%

what the key measurements in credit risk modeling?

• Probability of default (PD)
• Exposure at default (EAD)
• Loss given default (LGD)

How to calculate EL and UL?

$EL=\sum_{i=1}^NPD_iEAD_iLGD_i$EL=∑i=1N​PDi​EADi​LGDi​

$UL=\sum_{i=1}^N\sigma_i\rho_i$UL=∑i=1N​σi​ρi​

这里$\sigma_i$σi​ 表示第$i$i种信贷工具的损失的独立的标准差，$\rho_i$ρi​ 代表第$i$i种信贷工具于整个信贷组合的相关性。

Vasicek Model

Vasicek Model是用来计算信贷组合的风险敞口的联合损失分布的经典模型，它假设一个信贷资产价值是由组合系统性和特质性因子所给出，假设等相关和高斯分布的违约结构。信贷者 $i$i 在一个随机变量$X_i$Xi​低于一个阈值下会违约，这些 $X_i$Xi​ 呈现正态分布且等相关性，在时间$t$t 信贷资产 $i$i 的价值为：

$X_{it}=S_t\sqrt \rho+Z_{it}\sqrt {1-\rho}$Xit​=St​ρ​+Zit​1−ρ​

这里， $S$S , $Z$Z 分别为系统性和特质性因子， $\rho$ρ 为两个不同信贷者之间的相关性。

Vasicek模型使用三个输入来计算资产类别的 PD。第一个输入是TTC_PD (through the cycle PD)，这是一个相对于每种资产类别的定义值。第二个输入是信贷组合的共同因子，例如在给定 $S$S 下的经济指标。第三个是资产的相关性 $\rho$ρ 。当 $X_{it} < c$Xit​<c 时，信贷者违约。$c$c 时 TTC_PD的函数。

共同因子 $S$S 代表是总体经济和金融环境因素，业界种采用最多的从观测数据中提取 $S$S 的方法首推卡尔曼滤波。另一重要因素 $\rho$ρ 也就是资产相关性，Basel 给出了其基准值范围。

确定最小资本要求的风险权重具备一个特性称为组合不变性(portfolio invariance)，意味着某个信贷资产，无论它在任何信贷组合中，其风险权重保持不变。理论上，风险权重的组合不变性能够限制损失超过所有资本的可能性，但必须满足两个条件：

• 渐进细密 (asymptotically fine-grained)，就是指每一个贷款相对于总体都是微不足道的。
• 渐进单风险因素(asymptotic single risk factor, ASRF)，指每一笔贷款的特质性风险，存在单源的共同冲击。

Conceptual methodology

度量信用损失:

• Default model paradiam: 信用损失只在违约时发生

• Mark to Market Model: 未违约但信用恶化也会考虑

• 条件模型：只考虑借贷者和信贷工具相关信息

• 无条件模型：还会考虑宏观和微观经济状态

• 可在不同级别上聚集信用风险

• 可采用不同方法来度量违约和信用评级调整的相关性

模型验证

• 如果银行采用内部模型，监管机构需要某种方法来验证其模型的准确度。
• 银行业在估算信用风险时所采用的信用水平要高于市场风险。
• 并没有一个共同接受的框架可以周期性地验证信用风险模型地准确率。
• 对于银行内部环境而言，高层的监管力度、内部控制的质量、压力测试、报告流程等信用风险生态环境会继续在风险管理系统中扮演着非常重要的角色。

模型分类

​ 信用风险模型本质上是估计信用损失的概率密度函数，

• 结构化模型（Structual Credit Risk Modeling)

  ​ 结构化模型是用来计算一个企业的违约概率，基于其资产和负债。基本思路是当公司的负债大于其资产时，就很有可能发生违约。

• 简约型模型（Reduced-form Risk Modeling)

  ​ 简约模型的经典方案是假设违约是由一个外部原因造成的。这种方法把违约视为一个随机事件，而并不关注企业的资产负债表。而这类随机事件被建模为泊松事件。

结构化模型

​ 结构化模型使用Black-Scholes 期权定价模型来特征化违约行为，它被用来计算一个公司违约的可能性基于其资产和负债。这种模型最主要的挑战是无法观测到公司资产的市场价值，主要分析方法为或有所有权分析（Contingent Claims Analysis, CCA)，使用股票价格和会计信息来衡量具有公开交易股票的机构的信用风险。CCA的核心思想是认为一个机构的违约风险是由其资产价值的不确定性相对于其债务责任来决定的。

​ 资产价值的不确定性可以建模为一个随机过程：

$\frac{dV}{V}=\mu dt+\sigma_vdZ$VdV​=μdt+σv​dZ

​ 其中 $dZ$dZ 是一个维纳过程，即均值为0方差为1的正态分布，整个过程为一个几何布朗运动(Geometric Brownian Motion，GBM)，而资产的价值在时间 $t$t 为：

$V_t=V_0 exp[(\mu -\frac{\sigma_v^2}{2})t+\sigma_v\epsilon\sqrt t]$Vt​=V0​exp[(μ−2σv2​​)t+σv​ϵt​]

这里，$\epsilon$ϵ 是一个标准正态分布随机变量，漂移项进行了 $-\frac{\sigma_v^2}{2}$−2σv2​​ 调整。

​ 资产在 $t$t 时刻的价值可能高于或低于违约屏障 $D_t$Dt​ , $V_t < D_t$Vt​<Dt​的概率为：

$Prob(V_t \le D_t)=Prob(V_0exp[(\mu -\frac{\sigma_v^2}{2})t+\sigma_v\epsilon\sqrt t]\le D_t)$Prob(Vt​≤Dt​)=Prob(V0​exp[(μ−2σv2​​)t+σv​ϵt​]≤Dt​)

​ 可得

$Prob(V_t \le D_t)=Prob(\epsilon \le -d_2)\sim N(-d_2)$Prob(Vt​≤Dt​)=Prob(ϵ≤−d2​)∼N(−d2​)

​ 这里，$d_2$d2​ 称为"distance to default"，是指当前资产价值与违约屏障的距离是几个标准偏离。

​ 上式意味着违约概率为负 $d_2$d2​ 的累积标准正态分布

​ Probability Of Default

​ 上图展示了公司的资产价值的两种可能路径。资产价值在时间 $T$T 的概率分布假设为对数正态分布，我们需要估算其均值和标准差。

​ 分析以下资产负债表：

这里 $D$D 即使前面所提到的违约屏障(default barrier)，定义为债卷承诺支付额度按照无风险利率折现的现值。权益价值可以理解为资产的隐式的看涨期权，为：

$E(t)=V(t)N(d_1)-De^{-rt}N(d_2)$E(t)=V(t)N(d1​)−De−rtN(d2​)

其中，

$d_1=\frac{ln(\frac{V_0}{D})+(r+\frac{\sigma_v^2}{2})}{\sigma_v\sqrt{T}}$d1​=σv​T​ln(DV0​​)+(r+2σv2​​)​

$d_2=d_1-\sigma_A\sqrt{T}=\frac{ln(\frac{V_0}{D})+(r-\frac{\sigma_v^2}{2})}{\sigma_v\sqrt{T}}$d2​=d1​−σA​T​=σv​T​ln(DV0​​)+(r−2σv2​​)​

$r$r 是无风险利率，$\sigma$σ 是资产价值波动率，$N(d)$N(d) 是在 $d$d 以下的标准正态分布概率密度函数。

​ 资产的期望损失可以看成是一个隐式的看跌期权，这里 $D$D 可以认为式行权价的下限，期权价值为：

$P(t)=De^{-rt}(N(-d_2)-V_0N(-d_1))$P(t)=De−rt(N(−d2​)−V0​N(−d1​))

而风险债卷无违约价值减去期望损失，

$B=De^{-rt}-P(t)$B=De−rt−P(t)

简约模型

​ 在结构化风险模型中，资产的价值符合标准几何布朗运动且不包含跳跃、定量漂移和波动。这其实就是资产价值扩散过程(Merton 1974)。我们可以通过增加跳跃过程来扩展这个模型:

$\frac{dV_t}{V}=\mu dt+\sigma dW_t + (J-1)dY_t$VdVt​​=μdt+σdWt​+(J−1)dYt​

跳跃的次数用泊松过程 $Y_t$Yt​ 建模，其强度参数为 $\lambda$λ ，$dY_t$dYt​ 为跳跃过程，以概率$(1-\lambda)dt$(1−λ)dt为 0；以概率$\lambda dt$λdt 为1 。

$J$J 为跳跃幅度，是从一个与GBM和Poisson过程独立的以 $P(J)$P(J) 为概率密度函数的分布采样出来的。

​ 举例来书，如果出现跳跃 ($dY=1$dY=1)，资产价值$V$V 立刻跳变为 $JV$JV ；资产价格突然下降10%可以认为 $J=0.9$J=0.9 .在结构化方法中，并没有 $dY$dY 这一项；企业的价值建模为一个连续过程，违约出现在其价值到达了风险屏障；而在简约模型中，增加了 $dY$dY 项，违约会出现在第一个跳跃 $J$J 。

​ Poisson过程可以理解为从时间0到时间t 的到达次数$N_t$Nt​ 的模型，

$Prob(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t(\lambda t)^k}}{k!}$Prob(Nt​=k)=k!e−λt(λt)k​ ,期望为 $\lambda t$λt, 到第一次到达的等待时间的期望为 $\frac{1}{\lambda}$λ1​, 在 $0$0 和 $t$t 之间没有到达的概率为 $Prob(N_t=0) =e^{-\lambda t}$Prob(Nt​=0)=e−λt.

泊松过程应用在信用风险中，违约强度就是到达率，由$\lambda$λ表示。

• Contingent convertible capital Instruments (CoCo)

  我们采用违约强度模型来对或有可转资本工具进行定价. CoCo是一种可转债，当发债银行的资本下降到一个水平时，会触发其面值减值。转换成权益应该在减值前发生。转换的风险对应于违约风险。设面值为 $F$F ，转换率为 $C_r$Cr​ ，转化价格 $C_p=\frac{F}{C_r}$Cp​=Cr​F​ ，就是隐含的权益股的购买价格。如果CoCo满足触发条件且转换发生，令 $S^*$S∗ 为权益价值，投资者损失为 $L_{CoCo}=F-C_rS^{*}=F(1-\frac{S^*}{C_p})=F(1-R_{CoCo})$LCoCo​=F−Cr​S∗=F(1−Cp​S∗​)=F(1−RCoCo​)，

  这里回收率 $R_{CoCo}=\frac{S^*}{C_p}$RCoCo​=Cp​S∗​。

  ​ 这里，我们把CoCo债视为一种信用工具，采用简约模型来进行定价。信用利差 $cs=(1-R)\times \lambda$cs=(1−R)×λ ，称为信用三角。也就是说信用利差等于损失 $1-R$1−R 与损失发生的概率 $\lambda$λ 的乘积。

  ​ 我们可以 通过调整这种方法来对CoCo定价。为了防止银行违约，CoCo的转换需要在违约前出现，这意味着转换的违约强度 $\lambda_{trig}$λtrig​ 比实体本身的违约强度要大。根据泊松过程，触发强度 $\lambda_{trig}$λtrig​ 可以导出触发概率：

  $P_{trig}=1-e^{-\lambda_{trig}T}$Ptrig​=1−e−λtrig​T ,$T$T 是CoCo债的到期时间，得到

  $\lambda_{trig}=-\frac{log(1-P_{trig})}{T}$λtrig​=−Tlog(1−Ptrig​)​ ，推出

  $CS_{CoCo}=\lambda_{trig}(1-R_{CoCo})=-\frac{log(1-P_{trig})}{T}(1-\frac{S^*}{C_P})$CSCoCo​=λtrig​(1−RCoCo​)=−Tlog(1−Ptrig​)​(1−CP​S∗​)

  其实，CoCo的定价比较困难，因为其对触发概率的敏感度，在Black-Schole框架中，触碰 $S^*$S∗ 的概率为:

  $P^*=N(\frac{log(\frac{S^*}{S})-\mu T}{\sigma \sqrt{T}})+(\frac{S^*}{S})^{\frac{2\mu}{\sigma^2}}N(\frac{log(\frac{S^*}{S})+\mu T}{\sigma\sqrt{T}})$P∗=N(σT​log(SS∗​)−μT​)+(SS∗​)σ22μ​N(σT​log(SS∗​)+μT​)

  • $\mu=r-q-\frac{\sigma^2}{2}$μ=r−q−2σ2​
  • q = Continuous diviend yield
  • r = Continuous interest rate
  • $\sigma=$σ= Volatility
  • $T=$T= 到期时间
  • $S=$S= 当前股票价格

Counterparty credit risk

​ 交易对手风险(Counterparty credit risk , CCR)是指交易对手在最后一笔现金处理之前违约，这种风险出现在场外交易市场，证券金融交易和长期合约中。CCR具有以下特点：

• 双向性

• 只知道当前风险敞口

• 随机性和依赖潜在的未来敞口

  CCR与一般的信用风险和市场风险不同，当交易的市场价值有利于一方，而另一方违约时，会有CCR。CCR的典型量化方法包括:

  • 在投资的生存周期中的几个时间点模拟风险因子
  • 在每个时间点来对头寸进行定价
  • 在保持一致性的基础上，考虑净收入支出和抵押品聚集头寸

Credit Value Adjustments （CVA）

​ 信用价值调整(CVA)在CCR和市场风险中经常用到，它是银行对交易的价值针对潜在交易对手违约的损失所作出的调整。银行识别在衍生品交易市场中的交易对手风险并做出CVA调整。巴塞尔II中报告在全球金融危机中有三分之二的信用违约风险是由CVA的波动引起的，而并非实际违约行为。然而，CVA是一个估值和盯市价格的概念，不能替代传统的交易对手风险管理。

在考虑交易对手信用风险的情况下，衍生品的价值可以写为：

$X=X_f-CVA$X=Xf​−CVA , $X$X 是所有权价值，$X_f$Xf​ 是资产的无信用风险价值；

$CVA=LGD\sum_{t=1}^T DF_tEE_tPD_t$CVA=LGDt=1∑T​DFt​EEt​PDt​, 这里

• LGD是违约损失
• $DF_t$DFt​是期间 $t$t 的折现因子
• $EE_t$EEt​ 是时间 $t$t 的期望敞口
• $PD_t$PDt​ 是在时间 $t$t 违约的条件概率

$EE_t$EEt​ 是合同的可行权(in the money)的期望价值，在无保证金时，$EE_t=E(max\{X_t,0\})$EEt​=E(max{Xt​,0}) ; 当存在日可变保证金时，$EE_t=E(max\{X_t-VM_t,0\})$EEt​=E(max{Xt​−VMt​,0}) ，$VM_t=max\{X_{t-1},0\}$VMt​=max{Xt−1​,0}

可变保证金基于前一天的合同价值，对于交易方可行权(in the money)，$X_{t-1}$Xt−1​ 为正。VM的设计主要是为了期望敞口不会变得太大。

初始保证金(Initial Margin)被设定为可覆盖交易对手违约时可行权(in the money)衍生品合同的潜在损失，其水平是基于一个产品和市场历史模型。在考虑日可变保证金和初始保证金的情况下，期望敞口为

$EE_t=E(max\{X_{t+m}-VM_t-IM_t，0\})$EEt​=E(max{Xt+m​−VMt​−IMt​，0})，这里 $IM$IM 设为 $n$n 天 VaR，例如 $P(X_n-X_0>IM_n)=1-\alpha$P(Xn​−X0​>IMn​)=1−α ,假设 $m$m 天保证金期间风险。

经典方案

• CreditMetricsTM
• CREDITRISK+