[通过scikit-learn掌握机器学习] 02 线性回归
本章介绍用线性模型处理回归问题。回归问题的目标是预测出响应变量的连续值。
从简单问题开始,先处理一个响应变量和一个解释变量的一元问题。同时讲一下如何做模型评估。
然后,我们介绍多元线性回归问题(multiple linear regression),线性约束由多个解释变量构成。
再之后,我们介绍多项式回归分析(polynomial regression问题),一种具有非线性关系的多元线性回归问题。
最后,我们介绍如果训练模型获取目标函数最小化的参数值。
在研究一个大数据集问题之前,我们先从一个小问题开始学习建立模型和学习算法。
一元线性回归
假设你想计算匹萨的价格。
虽然看看菜单就知道了,不过也可以用机器学习方法建一个线性回归模型,通过分析匹萨的直径与价格的数据的线性关系,来预测任意直径匹萨的价格。
我们先用scikit-learn写出回归模型,然后我们介绍模型的用法,以及将模型应用到具体问题中。假设我们查到了部分匹萨的直径与价格的数据,这就构成了训练数据,如下表所示:
训练样本 | 直径(英寸) | 价格(美元) |
1 | 6 | 7 |
2 | 8 | 9 |
3 | 10 | 13 |
4 | 14 | 17.5 |
5 | 18 | 18 |
我们可以用matplotlib画出图形:
import matplotlib.pyplot as plt
def run_plt():
plt.figure()
plt.title('Price-Size')
plt.xlabel('Size')
plt.ylabel('Price')
plt.axis([0, 25, 0, 25])
plt.grid(True)
return plt
plt = run_plt()
X = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
plt.plot(X, y, 'k.')
plt.show()
|
能够看出,匹萨价格与其直径正相关,这与我们的日常经验也比较吻合,自然是越大越贵。下面我们就用scikit-learn来构建模型。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
print('Predict the price by linear regression: $%.2f' % model.predict([12])[0])
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一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系;
这个线性模型所构成的空间是一个超平面(hyperplane)。超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的子空间,总比包含它的空间少一维。
在一元线性回归中,一个维度是响应变量,另一个维度是解释变量,总共两维。因此,其超平面只有一维,就是一条线(直线或者曲线,具体要看选取的回归函数)。
上述代码中sklearn.linear_model.LinearRegression是一个估计器(estimator)。估计器依据观测值来预测结果。在scikit-learn里面,所有的估计器都带有fit()和predict()方法。fit()用来通过训练数据来确认模型需要的参数,predict()是通过模型对解释变量进行预测。
因为所有的估计器都有这两种方法,所有scikit-learn很容易实验不同的模型。
LinearRegression类的fit()方法学习下面的一元线性回归模型: y = α + βx。截距 α 和相关系数 β 是线性回归模型最关心的事情。
y 表示响应变量的预测值,本例指匹萨价格预测值, x 是解释变量,本例指匹萨直径。下图中的直线就是匹萨直径与价格的线性关系。用这个模型,你可以计算不同直径的价格。
实际上由于 y = α + βx 只需要两组输入[x,y]就能够之际计算一条之间,但是我们给定的数据要大于两组,因此每两两组合可以算出很多条直线。那么就涉及到在这么多直线中选哪一条的问题。也就是,这个方程是模型,而训练数据让我们可以选择合理的模型参数。
# coding=utf-8
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
def run_plt():
plt.figure()
plt.title('Price-Size')
plt.xlabel('Size')
plt.ylabel('Price')
plt.axis([0, 25, 0, 25])
plt.grid(True)
return plt
x = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)
plt = run_plt()
x2 = [[0], [10], [14], [25]]
y2 = model.predict(x2)
plt.plot(x, y, '.') # 最后一个参数指定绘图类型,'.' 为点
plt.plot(x2, y2, '-') # 最后一个参数指定绘图类型,'.' 为点
plt.show()
|
一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是普通最小二乘法(ordinary least squares )或线性最小二乘法(linear least squares)。
首先,我们定义出拟合成本函数,然后对参数进行数理统计。成本函数(cost function)也叫损失函数(loss function),用来定义模型与观测值的误差。模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差(residuals)或训练误差(training
errors)。
后面我们会用模型计算测试集,那时模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差(prediction errors)或训练误差(test errors)。
模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离,如下图所示:
…….
plt = run_plt()
x2 = [[0], [10], [14], [25]]
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)
y2 = model.predict(x2)
plt.plot(x, y, '.')
plt.plot(x2, y2, '-')
# 用模型来预测训练输入,为了得到残差
yr = model.predict(x)
# 将原始值与模型算出来的值之间连线, 每个输入都对应一条短线
for idx, i in enumerate(x):
plt.plot([i, i], [y[idx], yr[idx]], 'r-') # r 指的是 red, 表明这些线是红色的
plt.show()
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我们可以通过残差之和最小化实现最佳拟合,也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳拟合。对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和(residual sum of squares)成本函数。就是让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化,如下所示:
其中,yi是观测值,f(xi) 是预测值。
有了成本函数,就要使其最小化从而确定模型中的参数。解一元线性回归的最小二乘法。
通过成本函数最小化获得参数,我们先求相关系数 β 。按照频率论的观点,我们首先需要计算 x 的方差和 x 与 y 的协方差。
方差是用来衡量样本分散程度的。如果样本全部相等,那么方差为0。方差越小,表示样本越集中,反正则样本越分散。
其中,x¯是直径x的均值,xi的训练集的第i个直径样本,n是样本数量。
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Numpy里面有var方法可以直接计算方差,ddof参数是贝塞尔(无偏估计)校正系数(Bessel's
correction),设置为1,可得样本方差无偏估计量。
import numpy as np
(np.var([6, 8, 10, 14, 18],ddof=1))
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协方差表示两个变量的总体的变化趋势。
如果两个变量的变化趋势一致,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,那么两个变量之间的协方差就是负值。如果两个变量不相关,则协方差为0。
变量线性无关不表示一定没有其他相关性。
其中,x¯是直径x的均值,xi的训练集的第i个直径样本,y¯是价格y的均值,yi的训练集的第i个价格样本,n是样本数量。
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Numpy里面有cov方法可以直接计算方差。
import numpy as np
print(np.cov([6, 8, 10, 14, 18], [7, 9, 13, 17.5, 18])[0][1])
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在一元线性回归中,有了方差和协方差,就可以计算相关系统 β 了。 | |
算出 β 后,我们就可以计算 α 了 |
这样就通过最小化成本函数求出模型参数了。把匹萨直径带入方程就可以求出对应的价格了。
模型评估
如何评价模型在现实中的表现呢?现在让我们假设有另一组数据,作为测试集进行评估。
训练样本 | 直径(英寸) | 价格(美元) | 预测值(美元) |
1 | 8 | 11 | 9.7759 |
2 | 9 | 8.5 | 10.7522 |
3 | 11 | 15 | 12.7048 |
4 | 16 | 18 | 17.5863 |
5 | 12 | 11 | 13.6811 |
这里我们用R方(r-squared)评估匹萨价格预测的效果。R方也叫确定系数(coefficient of determination),表示模型对现实数据拟合的程度。计算R方的方法有几种。一元线性回归中R方等于皮尔逊积矩相关系数(Pearson product moment
correlation coefficient或Pearson's r)的平方。
这种方法计算的R方一定介于0~1之间的正数。其他计算方法,包括scikit-learn中的方法,不是用皮尔逊积矩相关系数的平方计算的,因此当模型拟合效果很差的时候R方会是负值。
首先,我们需要计算样本总体平方和,y¯是价格y的均值,yi的训练集的第i个价格样本,n是样本数量。 |
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我们计算残差平方和 |
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最后计算R方: |
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R方是0.6620说明测试集里面过半数的价格都可以通过模型解释。现在,让我们用scikit-learn来验证一下。LinearRegression的score方法可以计算R方:
from sklearn.linear_model import LinearRegression
x = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)
x_test = [[8], [9], [11], [16], [12]]
y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]]
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)
print model.score(x_test, y_test)
|
多元线性回归
可以看出匹萨价格预测的模型R方值并不显著。如何改进呢?用一元线性回归已经无法解决了,我们可以用更具一般性的模型来表示,即多元线性回归。
回顾一下自己的生活经验,匹萨的价格其实还会受到其他因素的影响。比如,匹萨的价格还与上面的辅料有关,所以让我们再为模型增加一个解释变量。
增加辅料的匹萨价格预测模型训练集和测试集如下表所示:
训练样本 | 直径(英寸) | 辅料种类 | 价格(美元) |
1 | 6 | 2 | 7 |
2 | 8 | 1 | 9 |
3 | 10 | 0 | 13 |
4 | 14 | 2 | 17.5 |
5 | 18 | 0 | 18 |
测试样本 | 直径(英寸) | 辅料种类 | 价格(美元) |
1 | 8 | 2 | 11 |
2 | 9 | 0 | 8.5 |
3 | 11 | 2 | 15 |
4 | 16 | 2 | 18 |
5 | 12 | 0 | 11 |
同样通过最小二乘法,可以计算出参数,然后再看看 R 值。这里直接使用 LinearRegression 来进行计算了:
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = [[6, 2], [8, 1], [10, 0], [14, 2], [18, 0]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
X_test = [[8, 2], [9, 0], [11, 2], [16, 2], [12, 0]]
y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]]
predictions = model.predict(X_test)
for i, prediction in enumerate(predictions):
print('Predicted: %s, Target: %s' % (prediction, y_test[i]))
print('R-squared: %.2f' % model.score(X_test, y_test))
|
输出结果是:
Predicted: [ 10.0625], Target: [11]
Predicted: [ 10.28125], Target: [8.5]
Predicted: [ 13.09375], Target: [15]
Predicted: [ 18.14583333], Target: [18]
Predicted: [ 13.3125], Target: [11]
R-squared: 0.77
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现在我们可以认为,匹萨价格预测问题,多元回归确实比一元回归效果更好。假如解释变量和响应变量的关系不是线性的呢?下面我们来研究一个特别的多元线性回归的情况,可以用来构建非线性关系模型。
多项式回归
上例中,我们假设解释变量和响应变量的关系是线性的。
真实情况未必如此。下面我们用多项式回归,一种特殊的多元线性回归方法,增加了指数项。现实世界中的曲线关系都是通过增加多项式实现的,其实现方式和多元线性回归类似。本例还用一个解释变量,匹萨直径。让我们用下面的数据对两种模型做个比较:
训练样本 | 直径(英寸) | 价格(美元) |
1 | 6 | 7 |
2 | 8 | 9 |
3 | 10 | 13 |
4 | 14 | 17.5 |
5 | 18 | 18 |
测试样本 | 直径(英寸) | 价格(美元) |
1 | 6 | 8 |
2 | 8 | 12 |
3 | 11 | 15 |
4 | 16 | 18 |
二次回归(Quadratic Regression),即回归方程有个二次项,公式:
我们只用一个解释变量,但是模型有三项,通过第三项(二次项)来实现曲线关系。实际上,我们可以换一个角度看这个问题, x^2 可以看做一个独立的变量,那么这就转变成了一个二元一次的问题。为了做掉这一点,需要将输入 x 转换一下, 一个输入变成两个,比如上例中输入为 [6,8,10,14,18] --> [ [6, 36], [8, 64], [10, 100], [14, 196],
[18, 324]]
上面的
就变成了二元一次线性拟合问题,之前讲过的
LinearRegression 就可以做了。
而在PolynomialFeatures就可可以用来完成做输入扩展。
代码如下:
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(2) # 最多到二次方
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
print (X_train_quadratic)
|
输出为:
[[ 1. 6. 36.]
[ 1. 8. 64.]
[ 1. 10. 100.]
[ 1. 14. 196.]
[ 1. 18. 324.]]
可以看到,就是对输入做了扩展, 从0次方最多到二次方
|
# coding=utf-8
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import matplotlib.pyplot as plt
def run_plt():
plt.figure()
plt.title('Price-Size')
plt.xlabel('Size')
plt.ylabel('Price')
plt.axis([0, 25, 0, 25])
plt.grid(True)
return plt
plt = run_plt()
X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y_train = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
X_test = [[6], [8], [11], [16]]
y_test = [[8], [12], [15], [18]]
# 返回一个数组,范围是 0 ~ 25, 共100个点, 这样可以画出预测出来的函数对应的线
xx = np.linspace(0, 25, 100)
xx_input = xx.reshape(xx.shape[0], 1) # 转化成一个跟 X_train 内容一致的1*100的矩阵
print (xx_input)
plt.plot(X_train, y_train, 'b.') # 画原始的训练集的点
plt.plot(X_test, X_test, 'r.') # 画原始的测试集的点
# 计算用一元一次线性回归出来的结果,然后画一条直线
regressor = LinearRegression()
regressor.fit(X_train, y_train)
yy = regressor.predict(xx_input)
plt.plot(xx, yy, 'c-') # 画一元一次回归对应的结果
print('Linear Regression r-squared', regressor.score(X_test, y_test))
# # quadratic 二次的
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
print(X_train_quadratic) # 转换过的输入
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
# 画二元一次回归对应的结果,而这个二元实际上通过一元输入转换过来的
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'm-')
print('Polynomial Regression r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
plt.show()
|
[[ 0. ]
[ 0.25252525]
……………….
[ 24.74747475]
[ 25. ]]
('Linear Regression r-squared', 0.80972679770766498)
[[ 1. 6. 36.]
[ 1. 8. 64.]
[ 1. 10. 100.]
[ 1. 14. 196.]
[ 1. 18. 324.]]
('Polynomial Regression r-squared', 0.86754436563451076)
注:
二次拟合的 R 值要高于 一次拟合。
但是,用上一个例子给出的测试集,也就是
X=[8,9,11,16,12]
Y=[11,8.5,15.18.11]
来计算 R 值,可以得到,其实一次拟合的 R 值要高于二次拟合。
也就是说,R 值跟训练集和测试集同时相关,而且不能简单的说高次拟合就一定比低次拟合效果好。
后面我们会论述一个问题:为什么只用一个测试集评估一个模型的效果是不准确的,如何通过将测试集数据分块的方法来测试,让模型的测试效果更可靠。
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针对这个例子中的训练集和测试集,一次回归的 R 值而0.81,而二次回归的 R 值为0.86。所以我们可以考虑一下更高次的回归是不是效果更好。同样的,也是将一维的输入,扩展到多维,然后在用多元一次方程来线性拟合。
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'm-')
cubic_featurizer = PolynomialFeatures(3)
X_train_cubic = cubic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_cubic = cubic_featurizer.transform(X_test)
regressor_cubic = LinearRegression()
regressor_cubic.fit(X_train_cubic, y_train)
xx_cubic = cubic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_cubic.predict(xx_cubic))
print(X_train_cubic)
print('2 Polynomial r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print('3 Polynomial r-squared', regressor_cubic.score(X_test_cubic, y_test))
plt.show()
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二次回归 r-squared 0.867544458591
三次回归 r-squared 0.835692454062
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quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), 'm-')
seventh_featurizer = PolynomialFeatures(7)
X_train_seventh = seventh_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_seventh = seventh_featurizer.transform(X_test)
regressor_seventh = LinearRegression()
regressor_seventh.fit(X_train_seventh, y_train)
xx_seventh = seventh_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_seventh.predict(xx_seventh))
print('2 Polynomial r-squared', regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print('7 Polynomial r-squared', regressor_seventh.score(X_test_seventh, y_test))
plt.show()
|
二次回归 r-squared 0.867544458591
七次回归 r-squared 0.487942421984
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可以看出,七次拟合的R方值更低,虽然其图形基本经过了所有的点。可以认为这是拟合过度(over-fitting)的情况。这种模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律,而是记忆训练集的结果,这样在测试集的测试效果就不好了。
正则化
正则化(Regularization)是用来防止拟合过度的一堆方法。正则化向模型中增加信息,经常是一种对抗复杂性的手段。
scikit-learn提供了一些方法来使线性回归模型正则化。其中之一是岭回归(Ridge Regression,RR,也叫Tikhonov regularization),通过放弃最小二乘法的无偏性,以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法。岭回归增加L2范数项(相关系数向量平方和的平方根)来调整成本函数(残差平方和):
λ 是调整成本函数的超参数(hyperparameter),不能自动处理,需要手动调整一种参数。 λ 增大,成本函数就变大。
scikit-learn也提供了最小收缩和选择算子(Least absolute shrinkage and selection operator, LASSO),增加L1范数项(相关系数向量平方和的平方根)来调整成本函数(残差平方和):
LASSO方法会产生稀疏参数,大多数相关系数会变成0,模型只会保留一小部分特征。而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时,LASSO方法会让其中一个变量的相关系数会变成0,而岭回归是将两个系数同时缩小。
scikit-learn还提供了弹性网(elastic net)正则化方法,通过线性组合L1和L2兼具LASSO和岭回归的内容。可以认为这两种方法是弹性网正则化的特例。
梯度下降法拟合模型
前面的内容都是通过最小化成本函数来计算参数的:
这里X是解释变量矩阵,当变量很多(上万个)的时候,XTX计算量会非常大。另外,如果XTX的行列式为0,即奇异矩阵,那么就无法求逆矩阵了。
对于
写成矩阵形式:Y = Xβ
其中, Y 是训练集的响应变量列向量, β 是模型参数列向量。 X 称为设计矩阵,是 m×n 维训练集的解释变量矩阵。 m 是训练集样本数量, n 是解释变量个数。
在这里,我们的n为2, 即我们的学习算法评估三个参数的值:两个相关因子和一个截距。
对于Y=Xβ,矩阵没有除法运算(详见线性代数相关内容),所以用矩阵的转置运算和逆运算来实现:
|
这里我们介绍另一种参数估计的方法,梯度下降法(gradient descent)。拟合的目标并没有变,我们还是用成本函数最小化来进行参数估计。
梯度下降法被比喻成一种方法,一个人蒙着眼睛去找从山坡到溪谷最深处的路。他看不到地形图,所以只能沿着最陡峭的方向一步一步往前走。每一步的大小与地势陡峭的程度成正比。如果地势很陡峭,他就走一大步,因为他相信他仍在高出,还没有错过溪谷的最低点。如果地势比较平坦,他就走一小步。这时如果再走大步,可能会与最低点失之交臂。如果真那样,他就需要改变方向,重新朝着溪谷的最低点前进。他就这样一步一步的走直到有一个点路是平的, 这就是谷底。
通常,梯度下降算法是用来评估函数的局部最小值的。我们前面用的成本函数如下:
可以用梯度下降法来找出成本函数最小的模型参数值。梯度下降法会在每一步走完后,计算对应位置的导数,然后沿着梯度(变化最快的方向)相反的方向前进。总是垂直于等高线。
需要注意的是,梯度下降法来找出成本函数的局部最小值。
非凸函数可能有若干个局部最小值,也就是说整个图形看着像是有多个波峰和波谷。梯度下降法只能保证找到的是局部最小值,并非全局最小值。
残差平方和构成的成本函数是凸函数,所以梯度下降法可以找到全局最小值。
梯度下降法的一个重要超参数是步长(learning rate),就是下降幅度。如果步长足够小,那么成本函数每次迭代都会缩小,直到梯度下降法找到了最优参数为止。但是,步长缩小的过程中,计算的时间就会不断增加。如果步长太大,这个人可能会重复越过谷底,也就是梯度下降法可能在最优值附近摇摆不定。
如果按照每次迭代后用于更新模型参数的训练样本数量划分,有两种梯度下降法。
批量梯度下降(Batch gradient descent)每次迭代都用所有训练样本。随机梯度下降(Stochastic gradient descent,SGD)每次迭代都用一个训练样本,这个训练样本是随机选择的。当训练样本较多的时候,随机梯度下降法比批量梯度下降法更快找到最优参数。
批量梯度下降法一个训练集只能产生一个结果。而SGD每次运行都会产生不同的结果。SGD也可能找不到最小值,因为升级权重的时候只用一个训练样本。它的近似值通常足够接近最小值,尤其是处理残差平方和这类凸函数的时候。