梯度下降求解逻辑回归实战篇

梯度下降求解逻辑回归

1.数据
       建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

 #数据分析三大件
 import numpy as np
 import pandas as pd
 import matplotlib.pyplot as plt
 %matplotlib inline

#魔法函数，是ipython独有的，需要在jupyter notebook 或者 jupyter qtconsole里面使用，不支持pycharm使用。
#%matplotlib具体作用是当你调用matplotlib.pyplot的绘图函数plot()进行绘图的时候，或者生成一个figure画布的时候，可以直接在你的python console里面生成图像。

path = 'LogiReg_data.txt'
#header=None：表示文件中的第一行不会被默认设置成列名。
#names用来设置列名
pdData = pd.read_csv(path,header=None,names=['Exam 1','Exam 2','Admitted'])
pdData.head()

pdData.shape

输出结果：(100, 3)

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]#返回Admitted=1的正例
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]#返回Admitted=0的反例
fig,ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
#c：为颜色，marker：为形状，s：为点的大小
ax.scatter(positive['Exam 1'],positive['Exam 2'],s=30,c='b',marker='o',label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

2.目标
建立分类器（求解出三个参数$\theta_0\theta_1\theta_2 $）
设定阈值，根据阈值判断录取结果
要完成的模块

• sigmoid : 映射到概率的函数

• model : 返回预测结果值

• cost : 根据参数计算损失

• gradient : 计算每个参数的梯度方向

• descent : 进行参数更新

• accuracy: 计算精度
  （1）sigmoid函数
  $g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$g(z)=1+e−z1​

  def sigmoid(z):
   	return 1/(1 + np.exp(-z))
   #创建一个从-10到10大小为20的向量
   nums = np.arange(-10,10,step=1)
   fig,ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
   ax.plot(nums,sigmoid(nums),'r')
  

Sigmoid

• $g:\mathbb{R} \to [0,1]$g:R→[0,1]
• $g(0)=0.5$g(0)=0.5
• $g(- \infty)=0$g(−∞)=0
• $g(+ \infty)=1$g(+∞)=1

（2）model模块
$\begin{array}{ccc} \begin{pmatrix}\theta_{0} & \theta_{1} & \theta_{2}\end{pmatrix} & \times & \begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\end{array}=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}$(θ0​​θ1​​θ2​​)​×​⎝⎛​1x1​x2​​⎠⎞​​=θ0​+θ1​x1​+θ2​x2​

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))
#在0的位置插入一列，插入操作只能插入一下，再次执行时就会报错。
pdData.insert(0,'Ones',1)
#设置X（训练数据），y（目标值）
# pdData.as_matrix这个方法已经过时了，现在用values属性，其返回值的类型为ndarray
orig_data = pdData.values
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]
theta = np.zeros([1,3])

测试X,y,theta
X[:5]

y[:5]

theta
输出结果：array([[0., 0., 0.]])
X.shape,y.shape,theta.shape
输出结果：((100, 3), (100, 1), (1, 3))
（3）损失函数
将对数似然函数去负号
$D(h_\theta(x), y) = -y\log(h_\theta(x)) - (1-y)\log(1-h_\theta(x))$D(hθ​(x),y)=−ylog(hθ​(x))−(1−y)log(1−hθ​(x))
求平均损失
$J(\theta)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D(h_\theta(x_i), y_i)$J(θ)=n1​i=1∑n​D(hθ​(xi​),yi​)

 def cost(X, y, theta):
     left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
     right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
     return np.sum(left - right) / (len(X))

#测试cost函数
cost(X, y, theta)
输出结果：0.6931471805599453
（4）Gradient
计算梯度
$\frac{\partial J}{\partial \theta_j}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (y_i - h_\theta (x_i))x_{ij}$∂θj​∂J​=−m1​i=1∑m​(yi​−hθ​(xi​))xij​

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    #ravel方法转成一维数组,不产生源数据的副本(即为一列向量)
    error = (model(X,theta) - y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())):
        term = np.multiply(error,X[:,j])
        grad[0,j] = np.sum(term) / len(X)
    return grad

（5）descent（比较3种不同梯度下降方法）

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2
def stopCriterion(type,value,threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER: return value > threshold
    elif type == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    #默认求第二范数
    elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold

#洗牌，实际上就是打乱数据集的顺序

def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:,0:cols-1]
    y = data[:,cols-1:]
    return X,y

descent方法如下：

import time
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 
        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

画图工具如下：

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

1）基于所有样本的批量梯度下降法
①根据迭代次数停止

n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

②根据损失值变化停止
设定阈值 1E-6, 差不多需要110 000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

③根据梯度变化停止
设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

2）随机梯度下降法
①根据迭代次数停止策略

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

很不稳定,再来试试把学习率调小一些

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

总结：随机梯度速度快，但稳定性差，需要很小的学习率。
3）Mini-batch descent（小批量梯度下降）
①根据迭代次数停止策略

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化，将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其标准差。最后得到的结果是对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。
4）将数据预处理后的结果
①基于所有样本的批量梯度下降法
a.根据迭代次数停止策略
from sklearn import preprocessing as pp
scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

结果好了很多！原始数据只能达到达到0.61，而在预处理的数据得到了0.38。所以对数据做预处理是非常重要的！
b.根据梯度变化停止策略
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

②随机梯度下降法
a.根据梯度变化停止策略

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

总结：随机梯度下降虽然快，但是迭代的次数很多，所以还是用小批量下降法比较合适！
③小批量梯度下降法
a.根据梯度变化停止策略

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

6）精度

#设定阈值
def predict(X, theta):
	return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(correct) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

输出结果：89%