从零开始构建现代计算机--第一章，02-实现异或门，Mux，DMux

简介

这是《计算机系统要素：从零开始构建现代计算机》的学习笔记，刚刚启程学习，记录博客好提醒自己不要半途而废。
书籍获取，代码实现与书籍介绍，可关注这位大佬，视频课程：coursera/B站
偷一张大佬github截图作为介绍：

有了上一篇：从零开始构建现代计算机–第一章，01-用与非门实现与戓非构建的与戓非门后，我们可以使用它们实现更复杂的电路

实现的逻辑门

异戓门(Xor)
Multiplexor(从多个输入值中选取一个作为输出，与DMux相反)
Demultiplexor(从多个输出线路中选择一个，将输入从这条线路输出)

符号约定

操作	表示
与	$x \cdot y$x⋅y
戓	$x+y$x+y
非	$\bar{x}$xˉ

用And/Or/Not实现Xor

真值表

相同为0,不同为1

$x$x	$y$y	$Xor(x,y)$Xor(x,y)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

转换为And/Or/Not表示

使用书中提到的技巧，可以将真值表转化为布尔函数$f(x,y)$f(x,y) ：
1.找到真值为1的行，即

$x$x	$y$y	$Xor(x,y)$Xor(x,y)
0	1	1
1	0	1

2.每一行中，输入变量x,y为0的取反，为1的不动，再取与：
$x=0,y=1$x=0,y=1行，构造$\bar{x} \cdot y$xˉ⋅y，显然$\bar{x} \cdot y$xˉ⋅y在$x=0,y=1$x=0,y=1时，值才能是1
$x=1,y=0$x=1,y=0行，构造$x \cdot \bar{y}$x⋅yˉ​，显然$x \cdot \bar{y}$x⋅yˉ​在$x=1,y=0$x=1,y=0时，值才能是1
3.什么时候Xor(x,y)输出1？显然只能是2中的两种情况，要么是第一种，要么是第二种,既然是"要么…要么…"，那么用or连接就好了：
$f(x,y) = \bar{x} \cdot y + x \cdot \bar{y}$f(x,y)=xˉ⋅y+x⋅yˉ​

电路连接

上节实现的与戓非门，就可以直接拿来用了：

用And/Or/Not实现Multiplexor(Mux)

Mux有三个输入：x,y,sel
一个输出：out
功能为根据sel的值从x,y中选择一个值输出：out = x if sel == 0, else out = y

真值表

$x$x	$y$y	sel	out
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	0	1
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	1	0
1	1	1	1

简化真值表

sel	out
0	x
1	y

转换为And/Or/Not表示

利用公式
$x\cdot \bar{y} \cdot \overline{sel} + x\cdot y \cdot \overline{sel} = x \cdot \overline{sel}\\ \bar{x}\cdot y \cdot sel + x\cdot y \cdot sel = y \cdot sel$x⋅yˉ​⋅sel+x⋅y⋅sel=x⋅selxˉ⋅y⋅sel+x⋅y⋅sel=y⋅sel
按上面从真值表到Xor函数的转化方法，可以得到Mux函数为
$Mux(x,y,sel) =x\cdot \bar{y} \cdot \overline{sel} + x\cdot y \cdot \overline{sel} + \bar{x}\cdot y \cdot sel + x\cdot y \cdot sel \\= x \cdot \overline{sel} + y \cdot sel$Mux(x,y,sel)=x⋅yˉ​⋅sel+x⋅y⋅sel+xˉ⋅y⋅sel+x⋅y⋅sel=x⋅sel+y⋅sel

电路连接

用And/Or/Not实现Demultiplexor(DMux)

DMux有两个输入：in,sel
两个输出：x,y
功能为根据sel，从x,y中选择一路，将in从这条路上输出：
{x, y} =
{in, 0} if sel == 0
{0, in} if sel == 1

真值表

in	sel	$x$x	$y$y
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1

转换为And/Or/Not表示

按上面Xor函数的转化方法，从真值表中可以得到DMux函数为
$x = in \cdot \overline{sel}\\ y = in \cdot sel$x=in⋅sely=in⋅sel

电路连接