1012 - 曼哈顿距离&切比雪夫距离

什么是切比雪夫距离？什么是曼哈顿距离？

傻傻分不清，没关系，看：

曼哈顿距离

设平面空间内存在两点，它们的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)

则dis=|x1−x2|+|y1−y2|

即两点横纵坐标差之和

切比雪夫距离

设平面空间内存在两点，它们的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)

则dis=max(|x1−x2|,|y1−y2|)

即两点横纵坐标差的最大值

1012 - 曼哈顿距离&切比雪夫距离

比如这个图，A，B两点的曼哈顿距离就是 1012 - 曼哈顿距离&切比雪夫距离

切比雪夫距离就是 1012 - 曼哈顿距离&切比雪夫距离

既然都提到这两个距离了，就免不了要讲讲它们的相互转化

将一个点(x,y)的坐标变为(x+y,x−y)后,原坐标系中的曼哈顿距离 = 新坐标系中的切比雪夫距离

将一个点(x,y)的坐标变为后,原坐标系中的切比雪夫距离 = 新坐标系中的曼哈顿距离

这个证明也很容易，有兴趣的同学可以来皮一下

我就不在这里赘述了

然而有什么用呢？？这么多奇奇怪怪的定义，真是让人摸不着头脑

但事实上，可有用了呢

切比雪夫距离由于要求max 很多时候不是很好优化，对于一个点，计算其他点到该的距离的复杂度为O(n)（因为要枚举）

而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算，我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响，进而用前缀和优化，可以把复杂度降为O(1)，也可以支持很多次的运算

而有一个细节需要注意一下：

在切比雪夫距离转曼哈顿距离的时候，坐标本是要除以2的，但考虑到精度的问题，我们一般都会将除以2 这一步操作放到最后
这样也是正确的，形象的理解可以说成，曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转45度后，再缩小到原来的一半得到的。

是不是手痒痒了？？来吧，练一道入门题松鼠聚会（TJOI 2013）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define N 100009
#define in read()
using namespace std;
inline int read(){
	char ch;int f=1,res=0;
	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f==1?res:-res;
}
ll ans=1ll<<50ll,sumx[N],sumy[N];//一开始ans又初始小了~~~~~悲伤
int n,x[N],y[N],xx[N],yy[N];
ll solve(int now){//现在要到 n 的家里去 
	ll res=0;
	int pos=lower_bound(xx+1,xx+n+1,x[now])-xx;
	res+=1ll*pos*x[now]-sumx[pos]+sumx[n]-sumx[pos]-1ll*(n-pos)*x[now];
	
	pos=lower_bound(yy+1,yy+n+1,y[now])-yy;
	res+=1ll*pos*y[now]-sumy[pos]+sumy[n]-sumy[pos]-1ll*(n-pos)*y[now];
	
	return res;
}
int main(){
	n=in;
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;++i) {
		int a=in;int b=in;
		x[i]=xx[i]=a+b;
		y[i]=yy[i]=a-b;
	}
	
	sort(xx+1,xx+n+1);
	sort(yy+1,yy+n+1);
	
	for(i=1;i<=n;++i){
		sumx[i]=sumx[i-1]+xx[i];
		sumy[i]=sumy[i-1]+yy[i];
	}
	
	for(i=1;i<=n;++i)
		ans=min(ans,solve(i));
		

	cout<<ans/2;
	return 0;
}

1012 - 曼哈顿距离&切比雪夫距离

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