MIT线性代数导论学习笔记1—向量简介

chapter 1：Introduction to Vectors

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在线性代数两种核心运算中都与向量有关。这两种运算分别是：向量相加、向量与数c相乘。这两种运算相结合就是线性组合（linear combination）cv+dw

 线性组合在本学科中十分重要。有时我们需要一个具体的组合，可以选择c=2 d=1，此时得到cv+dw =（4,5）；有时，我们需要v和w的所有组合（c和d的取值任意）。

向量cv是在一条线上的，如果w不在该直线上，则线性组合cv+dw填充了整个二维平面。

本章主要学习3个方面的内容:

1、向量加法 v+w；线性组合cv+dw

2、向量点积 v• w；向量的长度II v II

3、矩阵A，线性等式Ax = b，解决方法 x = A -I b.

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1.1 向量和线性组合

 严格讲，本书向量指的都是列向量。

• 向量加法：

• 向量标量乘法：

•  线性组合定义

•  向量可视化：（1）向量v可以用一个箭头表示，这个箭头向右有v1=4单位，向上v2=2单位。结束于x，y坐标为4,2；（2）向量也可以用点来表示

       因此，我们共有3种方法描述向量v：两个数字、始于（0,0）的箭头、平面上的点。

      相加使用数字，而可视化使用箭头：

• 三维空间的向量

•  非常重要的问题

假设向量u、v、w是三维空间的向量：

 即1个向量、2个向量和3个向量的所有线性组合所对应的图像时是什么？答案如下：

 1个向量所有线性组合代表：一条线

 2个向量所有线性组合代表：一个平面

 3个向量所有线性组合代表：整个三维空间

 如下图所示：

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 1.2 向量长度和点积（内积）

• 点积定义：

 


 
 如果两个向量的点积为0，表示这个两个向量垂直（perpendicular），他们之间的夹角是90度、

点积的特殊情况：向量与自己的点积，即v· v = || v ||^2 ，举例：

•  向量长度定义：

•  单位向量定义

 长度为1 的向量为单位向量。

 直角：当v垂直于w时，v和w的点积 v • w = 0

可通过v • w 点积的正负来判断位于直角的上方或下方。当v • w >0 ,则两个向量角度小于90度，否则向量夹角大于90度。如下图所示

 单位向量u，U ，它们的点积的正负告诉我们向量的夹角e < 90° or e > 90°

 单位向量点积等于夹角余弦。