优化算法
AdaGrad
针对简单的SGD及Momentum存在的问题，2011年John Duchi等发布了AdaGrad优化算法(Adaptive Gradient，自适应梯度)，它能够对每个不同的参数调整不同的学习率，对频繁变化的参数以更小的步长进行更新，而稀疏的参数以更大的步长进行更新。
其中，gt表示第t时间步的梯度（向量，包含各个参数对应的偏导数，gt,i表示第i个参数t时刻偏导数）
gt2表示第t时间步的梯度平方（向量，由gt各元素自己进行平方运算所得，即Element-wise）
与SGD的核心区别在于计算更新步长时，增加了分母：梯度平方累积和的平方根。此项能够累积各个参数gt,i的历史梯度平方，频繁更新的梯度，则累积的分母项逐渐偏大，那么更新的步长(stepsize)相对就会变小，而稀疏的梯度，则导致累积的分母项中对应值比较小，那么更新的步长则相对比较大。
AdaGrad能够自动为不同参数适应不同的学习率（平方根的分母项相当于对学习率α进进行了自动调整，然后再乘以本次梯度），大多数的框架实现采用默认学习率α=0.01即可完成比较好的收敛。
优势：在数据分布稀疏的场景，能更好利用稀疏梯度的信息，比标准的SGD算法更有效地收敛。
缺点：主要缺陷来自分母项的对梯度平方不断累积，随之时间步地增加，分母项越来越大，最终导致学习率收缩到太小无法进行有效更新。
RMSProp
RMSProp是Geoffrey Hinton教授在教案中提到的算法，结合梯度平方的指数移动平均数来调节学习率的变化。能够在不稳定（Non-Stationary）的目标函数情况下进行很好地收敛。
计算梯度平方的指数移动平均数（Exponential Moving Average），γ是遗忘因子（或称为指数衰减率），依据经验，默认设置为0.9。
梯度更新时候，与AdaGrad类似，只是更新的梯度平方的期望（指数移动均值），其中ε=10^-8，避免除数为0。默认学习率α=0.001。
优势：能够克服AdaGrad梯度急剧减小的问题，在很多应用中都展示出优秀的学习率自适应能力。尤其在不稳定(Non-Stationary)的目标函数下，比基本的SGD、Momentum、AdaGrad表现更良好。
Adam优化器
2014年12月，Kingma和Lei Ba两位学者提出了Adam优化器，结合AdaGrad和RMSProp两种优化算法的优点。对梯度的一阶矩估计（First Moment Estimation，即梯度的均值）和二阶矩估计（Second
Moment Estimation，即梯度的未中心化的方差）进行综合考虑，计算出更新步长。
主要包含以下几个显著的优点：
- 实现简单，计算高效，对内存需求少
- 参数的更新不受梯度的伸缩变换影响
- 超参数具有很好的解释性，且通常无需调整或仅需很少的微调
- 更新的步长能够被限制在大致的范围内（初始学习率）
- 能自然地实现步长退火过程（自动调整学习率）
- 很适合应用于大规模的数据及参数的场景
- 适用于不稳定目标函数
- 适用于梯度稀疏或梯度存在很大噪声的问题
综合Adam在很多情况下算作默认工作性能比较优秀的优化器。
adam代码实现如下：
来源：https://www.jianshu.com/p/aebcaf8af76e
参考：《百面机器学习》