Softmax 回归 (Softmax Regression)

到目前为止，我们讲到过的分类的例子都使用了二分分类，这种分类只有两种可能的标记0或1，这是一只猫或者不是一只猫，如果我们有多种可能的类型的话呢？有一种logistic回归的一般形式，叫做Softmax回归，能让你在试图识别某一分类时做出预测，或者说是多种分类中的一个，不只是识别两个分类，我们来一起看一下。

假设你不单需要识别猫，而是想识别猫，狗和小鸡，我把猫加做类1，狗为类2，小鸡是类3，如果不属于以上任何一类，就分到“其它”或者说“以上均不符合”这一类，我把它叫做类0。这里显示的图片及其对应的分类就是一个例子，这幅图片上是一只小鸡，所以是类3，猫是类1，狗是类2，我猜这是一只考拉，所以以上均不符合，那就是类0，下一个类3，以此类推。我们将会用符号表示，我会用大写的 $C$C 来表示你的输入会被分入的类别总个数，在这个例子中，我们有4种可能的类别，包括“其它”或“以上均不符合”这一类。当有4个分类时，指示类别的数字，就是从0到 $C-1$C−1 ，换句话说就是0、1、2、3。

在这个例子中，我们将建立一个神经网络，其输出层有4个，或者说 $C$C 个输出单元，因此 $n$n ，即输出层也就是 $L$L 层的单元数量，等于4，或者一般而言等于 $C$C 。我们想要输出层单元的数字告诉我们这4种类型中每个的概率有多大，所以这里的第一个节点(最后输出的第1个方格+圆圈)输出的应该是或者说我们希望它输出“其它”类的概率。在输入 $X$X 的情况下，这个(最后输出的第2个方格+圆圈)会输出猫的概率。在输入 $X$X 的情况下，这个会输出狗的概率(最后输出的第3个方格+圆圈)。在输入 $X$X 的情况下，输出小鸡的概率（最后输出的第4个方格+圆圈），我把小鸡缩写为bc（baby chick）。因此这里的 $\hat{y}$y^​ 将是一个 $4 * 1$4∗1 维向量，因为它必须输出四个数字，给你这四种概率，因为它们加起来应该等于1，输出中的四个数字加起来应该等于1。

让你的网络做到这一点的标准模型要用到Softmax层，以及输出层来生成输出，让我把式子写下来，然后回过头来，就会对Softmax的作用有一点感觉了。

在神经网络的最后一层，你将会像往常一样计算各层的线性部分， $z^{[l]}$z[l] 这是最后一层的 $z$z 变量，记住这是大写 $L$L 层，和往常一样，计算方法是 $z^{[l]}=W^{[l]}a^{[L-1]}+b^{[l]}$z[l]=W[l]a[L−1]+b[l] ，算出了 $z$z 之后，你需要应用Softmax**函数，这个**函数对于Softmax层而言有些不同，它的作用是这样的。首先，我们要计算一个临时变量，我们把它叫做 $t$t ，它等于 $e^{z^{[l]}}$ez[l] ，这适用于每个元素，而这里的 $z^{[l]}$z[l] ，在我们的例子中， $z^{[l]}$z[l] 是4×1的，四维向量 $t=e^{z^{[l]}}$t=ez[l] ，这是对所有元素求幂， $t$t 也是一个4×1维向量，然后输出的 $a^{[l]}$a[l] ，基本上就是向量 $t$t ，但是会归一化，使和为1。因此 $a^{[l]}=\frac{e^{z^{[l]}}}{\sum_{j=1}^4t_i}$a[l]=∑j=14​ti​ez[l]​ ，换句话说， $a^{[l]}$a[l] 也是一个4×1维向量，而这个四维向量的第 $i$i 个元素，我把它写下来， $a^{[l]}_i=\frac{t_i}{\sum_{j=1}^4t_i}$ai[l]​=∑j=14​ti​ti​​ ，以防这里的计算不够清晰易懂，我们马上会举个例子来详细解释。

我们来看一个例子，详细解释，假设你算出了 $z^{[l]}$z[l] ， $z^{[l]}$z[l] 是一个四维向量，假设为 $z^{[l]}=\left[\begin{matrix}5\\2\\-1\\3\end{matrix}\right]$z[l]=⎣⎢⎢⎡​52−13​⎦⎥⎥⎤​ ，我们要做的就是用这个元素取幂方法来计算 $t$t ，所以 $t=\left[\begin{matrix}e^5\\e^2\\e^{-1}\\e^3\end{matrix}\right]$t=⎣⎢⎢⎡​e5e2e−1e3​⎦⎥⎥⎤​ ，如果你按一下计算器就会得到以下值 $t=\left[\begin{matrix}148.4\\7.4\\0.4\\20.1\end{matrix}\right]$t=⎣⎢⎢⎡​148.47.40.420.1​⎦⎥⎥⎤​ ，我们从向量 $t$t 得到向量 $a^{[l]}$a[l] 就只需要将这些项目归一化，使总和为1。如果你把 $t$t 的元素都加起来，把这四个数字加起来，得到176.3，最终 $a^{[l]}=\frac{t}{176.3}$a[l]=176.3t​ 。

例如这里的第一个节点，它会输出 $\frac{e^5}{176.3}=0.842$176.3e5​=0.842 ，这样说来，对于这张图片，如果这是你得到 $z$z 的值( $\left[\begin{matrix}5\\2\\-1\\3\end{matrix}\right]$⎣⎢⎢⎡​52−13​⎦⎥⎥⎤​ )，它是类0的概率就是84.2%。下一个节点输出 $\frac{e^2}{176.3}=0.042$176.3e2​=0.042 ，也就是4.2%的几率。下一个是 $\frac{e^{-1}}{176.3}=0.002$176.3e−1​=0.002 。最后一个是 $\frac{e^3}{176.3}=0.114$176.3e3​=0.114 ，也就是11.4%的概率属于类3，也就是小鸡组，对吧？这就是它属于类0，类1，类2，类3的可能性。

神经网络的输出 $a^{[l]}$a[l] ，也就是 $\hat{y}$y^​ ，是一个4×1维向量，这个4×1向量的元素就是我们算出来的这四个数字( $\left[\begin{matrix}0.842\\0.042\\0.002\\0.114\end{matrix}\right]$⎣⎢⎢⎡​0.8420.0420.0020.114​⎦⎥⎥⎤​ )，所以这种算法通过向量 $z^{[l]}$z[l] 计算出总和为1的四个概率。

如果我们总结一下从 $z^{[l]}$z[l] 到 $a^{[l]}$a[l] 的计算步骤，整个计算过程，从计算幂到得出临时变量 $t$t ，再归一化，我们可以将此概括为一个Softmax**函数。设 $a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})$a[l]=g[l](z[l]) ，这一**函数的与众不同之处在于，这个**函数 $g$g 需要输入一个4×1维向量，然后输出一个4×1维向量。之前，我们的**函数都是接受单行数值输入，例如Sigmoid和ReLu**函数，输入一个实数，输出一个实数。Softmax**函数的特殊之处在于，因为需要将所有可能的输出归一化，就需要输入一个向量，最后输出一个向量。

那么Softmax分类器还可以代表其它的什么东西么？我来举几个例子，你有两个输入 $x_1，x_2$x1​，x2​ ，它们直接输入到Softmax层，它有三四个或者更多的输出节点，输出 $\hat{y}$y^​ ，我将向你展示一个没有隐藏层的神经网络，它所做的就是计算 $z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$z[1]=W[1]x+b[1] ，而输出的出 $a^{[l]}$a[l] ，或者说 $\hat{y}$y^​ ， $a^{[l]}=y=g(z^{[1]})$a[l]=y=g(z[1]) ，就是 $z^{[1]}$z[1] 的Softmax**函数，这个没有隐藏层的神经网络应该能让你对Softmax函数能够代表的东西有所了解。

这个例子中（左边图），原始输入只有 $x_1$x1​ 和 $x_2$x2​，一个 $C=3$C=3 个输出分类的Softmax层能够代表这种类型的决策边界，请注意这是几条线性决策边界，但这使得它能够将数据分到3个类别中，在这张图表中，我们所做的是选择这张图中显示的训练集，用数据的3种输出标签来训练Softmax分类器，图中的颜色显示了Softmax分类器的输出的阈值，输入的着色是基于三种输出中概率最高的那种。因此我们可以看到这是logistic回归的一般形式，有类似线性的决策边界，但有超过两个分类，分类不只有0和1，而是可以是0，1或2。

这是（中间图）另一个Softmax分类器可以代表的决策边界的例子，用有三个分类的数据集来训练，这里（右边图）还有一个。对吧，但是直觉告诉我们，任何两个分类之间的决策边界都是线性的，这就是为什么你看到，比如这里黄色和红色分类之间的决策边界是线性边界，紫色和红色之间的也是线性边界，紫色和黄色之间的也是线性决策边界，但它能用这些不同的线性函数来把空间分成三类。

我们来看一下更多分类的例子，这个例子中（左边图） $C=4$C=4 ，因此这个绿色分类和Softmax仍旧可以代表多种分类之间的这些类型的线性决策边界。另一个例子（中间图） $C=5$C=5 是类，最后一个例子（右边图）是 $C=6$C=6 ，这显示了Softmax分类器在没有隐藏层的情况下能够做到的事情，当然更深的神经网络会有 $x$x ，然后是一些隐藏单元，以及更多隐藏单元等等，你就可以学习更复杂的非线性决策边界，来区分多种不同分类。

我希望你了解了神经网络中的Softmax层或者Softmax**函数有什么作用，下一个视频中，我们来看一下你该怎样训练一个使用Softmax层的神经网络。

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