数据库系统概论之规范化

1.问题的提出

$\quad$一个关系模式系模式由五部分组成，是一个五元组：
$R(U, D, DOM, F)$R(U,D,DOM,F)
关系名$R$R是符号化的元组语义，
$U$U为一组属性，
$D$D为属性组$U$U中的属性所来自的域，
$DOM$DOM为属性到域的映射，
$F$F为属性组$U$U上的一组数据依赖。
由于$D$D、$DOM$DOM与模式设计关系不大，因此在本章中把关系模式看作一个三元组：$R<U,F>$R<U,F>

$\quad$未经过规范化的关系模式，可能会造成的问题：
（1）数据冗余，浪费大量的存储空间。
（2）更新异常，数据冗余 ，更新数据时，维护数据完整性代价大。
（3）插入异常。
（4）删除异常。

2.相关定义

（1）数据依赖
$\quad$分为函数依赖和多值依赖（这里仅考虑函数依赖）①是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系，通过属性间值的相等与否体现出来的数据间相互联系。②是现实世界属性间相互联系的抽象。③是数据内在的性质。④是语义的体现。

（2）函数依赖
$\quad$设$R(U)$R(U)是一个属性集$U$U上的关系模式，$X$X和$Y$Y是$U$U的子集。
若对于$R(U)$R(U)的任意一个可能的关系$r$r，$r$r 中不可能存在两个元组在$X$X上的属性值相等， 而在$Y$Y上的属性值不等，
则称“$X$X函数确定$Y$Y”或“$Y$Y函数依赖于$X$X”，记作
$X→Y$X→Y

• $X→Y$X→Y，但$Y⊈X$Y⊈X则称$X→Y$X→Y是非平凡的函数依赖。
• $X→Y$X→Y，但$Y⊆X$Y⊆X 则称$X→Y$X→Y是平凡的函数依赖。

$\quad$注：对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义。若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。

• 若$X→Y$X→Y，则$X$X称为这个函数依赖的决定因素。
• 若$X→Y$X→Y，$Y→X$Y→X，则记作$X←→Y$X←→Y。
• 若$Y$Y不函数依赖于$X$X，则记作$X↛Y$X↛Y。

(3)完全函数依赖
$\quad$在$R(U)$R(U)中，如果$X→Y$X→Y，并且对于$X$X的任何一个真子集$X'$X′, 都有 $X' ↛ Y$X′↛Y, 则称$Y$Y对$X$X完全函数依赖，记作
$X\stackrel{F}{\longrightarrow}Y$X⟶F​Y

(4)部分函数依赖
$\quad$若$X→Y$X→Y，但$Y$Y不完全函数依赖于$X$X，则称$Y$Y对$X$X部分函数依赖，记作
$X\stackrel{P}{\longrightarrow}Y$X⟶P​Y

(5)候选码
$\quad$设$K$K为$R<U,F>$R<U,F>中的属性或属性组合。若$K\stackrel{F}{\longrightarrow}U$K⟶F​U，则$K$K称为$R$R的一个候选码。

• 如果$U$U部分函数依赖于$K$K，即$K\stackrel{P}{\longrightarrow}U$K⟶P​U,则$K$K称为超码。候选码是最小的超码，即$K$K的任意一个真子集都不是候选码。
• 若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码。
• 包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性。
• 不包含在任何码中的属性称为非主属性。
• 整个属性组是码，称为全码。

（6）外码
$\quad$关系模式 $R$R中属性或属性组$X$X并非$R$R的码，但$X$X是另一个关系模式的码，则称$X$X是$R$R的外码。

3.规范化理论

(1)$1NF$1NF
$\quad$数据属性不可再分，不存在表中有表，就是$1NF$1NF。

(2)$2NF$2NF
$\quad$若关系模式$R∈1NF$R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则$R∈2NF$R∈2NF。（不存在非主属性对码的部分函数依赖）

(3)$3NF$3NF
$\quad$若关系模式$R∈2NF$R∈2NF，不存在非主属性对码的传递函数依赖，则$R∈3NF$R∈3NF。

(4)$BCNF$BCNF
$\quad$设关系模式$R<U,F>∈1NF$R<U,F>∈1NF，若$X →Y$X→Y且$Y ⊆ X$Y⊆X时$X$X必含有码，则$R<U,F>∈BCNF$R<U,F>∈BCNF。
$\quad$注：如果一个关系数据库中的所有关系模式都属于BCNF，那么在函数依赖范畴内，它已实现了模式的彻底分解，达到了最高的规范化程度，消除了插入异常和删除异常。

4.关系模式规范化的基本步骤

$\quad$画出依赖关系表示图，先找出主码，然后逐步消除，确定该关系模式属于哪一级别的范式。

5.数据依赖的公理系统

(1)逻辑蕴涵
$\quad$对于满足一组函数依赖$F$F的关系模式 $R <U,F>$R<U,F>，其任何一个关系$r$r，若函数依赖$X→Y$X→Y都成立（即$r$r中任意两元组$t$t、$s$s，若$t[X]=s[X]$t[X]=s[X]，则 $t[Y]=s[Y]$t[Y]=s[Y]），则称$F$F逻辑蕴涵$X →Y$X→Y。

(2)Armstrong公理系统

• 自反律：若$Y\subseteq X\subseteq U$Y⊆X⊆U，则$X →Y$X→Y 为$F$F所蕴涵。
• 增广律：若$X→Y$X→Y为$F$F所蕴涵，且$X\subseteq Z$X⊆Z，则$XZ→YZ$XZ→YZ 为$F$F所蕴涵。
• 传递律：若$X→Y$X→Y及$Y→Z$Y→Z为$F$F所蕴涵，则$X→Z$X→Z 为$F$F所蕴涵。

(3)三条推理规则

• 合并规则：由$X→Y$X→Y，$X→Z$X→Z，有$X→YZ$X→YZ。
• 伪传递规则：由$X→Y$X→Y，$WY→Z$WY→Z，有$XW→Z$XW→Z。
• 分解规则：由$X→Y$X→Y及$Z\subseteq Y$Z⊆Y，有$X→Z$X→Z。

引理：$X→A_1A_2…A_k$X→A1​A2​…Ak​成立的充分必要条件是$X→A_i$X→Ai​成立$（i=1，2，…，k）$（i=1，2，…，k）

6.几个例题

（1）$R(A,B,C,D),F=\{AB→C,B→D\}$R(A,B,C,D),F={AB→C,B→D}
（2）$R(A,B,C,D,E),F=\{AB→CE,E→AB,C→D\}$R(A,B,C,D,E),F={AB→CE,E→AB,C→D}
（3）$R(A,B,C,D),F=\{AB→C,D→B,B→D\}$R(A,B,C,D),F={AB→C,D→B,B→D}
（4）$R(A,B,C),F=\{A→B,A→C,B→A\}$R(A,B,C),F={A→B,A→C,B→A}
（5）$R(A,B,C),F=\{A→B,C→A,B→A\}$R(A,B,C),F={A→B,C→A,B→A}
（6）$R(A,B,C,D),F=\{A→C,D→B\}$R(A,B,C,D),F={A→C,D→B}
（7）$R(A,B,C,D),F=\{A→C,CD→B\}$R(A,B,C,D),F={A→C,CD→B}

下次出答案与结题过程