【数据结构】二叉树结构

二叉搜索树

定义： 一棵二叉查找树（BST）是一棵二叉树，其中每个结点都含有一个Comparable的键（以及相关联的值）且每个结点的键都大于其左子树中的任意结点的键而小于右子树的任意结点的键。

完全二叉树 与 满二叉树

完全二叉树：将结点按从左到右，再从上到下的顺序排布，得到的二叉树就是完全二叉树。例如有10个结点，它所组成的完全二叉树结果是唯一的，如下：

为了确保你对完全二叉树的理解是正确，请保证你心里的理解能满足以下特点：

注意：叶子结点指的是没有孩子的结点，而不是指树最后一层的结点。

满二叉树：与完全二叉树类似，将结点按从左到右，再从上到下的顺序排布，并且还需要将树排满，使得所有叶子结点都在同一层上，这样得到的二叉树就是满二叉树。如下图：

为了确保你对完全二叉树的理解是正确，请保证你心里的理解能满足以下特点：

二叉树性质

• 在二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$2i−1个节点，注意i>=1。
• 深度为k的二叉树至多有$2^k-1$2k−1个节点，注意k>=1。
• 对于任何一棵二叉树T，终端结点数(即叶子结点数)记为 $n_0$n0​，度为2的结点数记为 $n_2$n2​，有$n_0=n_2+1$n0​=n2​+1。
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为$⌊log_2n+1⌋$⌊log2​n+1⌋，其中$⌊x⌋$⌊x⌋表示对$x$x向下取整。
• 如果有一棵有n各结点的完全二叉树（其深度为$⌊log_2n+1⌋$⌊log2​n+1⌋）的结点按层序编号（从第1层到第$⌊log_2n+1⌋$⌊log2​n+1⌋，每层从左到右），对任一结点$i(1<=i<=n)$i(1<=i<=n)有：
  • 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点$⌊i/2⌋$⌊i/2⌋。
  • 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
  • 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。
    
• 已知二叉树的中序遍历后，再知道其中序遍历或后序遍历，才可以唯一确定一棵二叉树。相反，若不知道中序遍历，即使同时知道中序遍历和后序遍历，也不能唯一确定一棵二叉树。

二叉树相关博文

• 总结二叉树的遍历方法（广度优先遍历、深度优先遍历以及前序、中序、后序遍历）

相关/参考链接

• 《算法》(第四版)
• 《大话数据结构》