Analytic Marching：一种基于解析的三维物体网格生成方法
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作者：Karbo
链接：https://arxiv.org/abs/2002.06597
来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/107658473
作者已授权，未经许可请勿二次转载。
摘要
1.探讨的问题：如何从三维物体的隐函数（implicit functions）表示，来尽可能精确地恢复出该物体的三维网格（mesh）？
2.传统方法：最常见的网格化方法是Marching Cubes（MC），但是它需要事先从三维空间中采样很多样本，即具有离散化的性质。并且只有当采样的分辨率很高时（例如 的采样数量），才有可能较为精确地恢复出隐函数所表示的三维物体网格。
3.本文做了什么：基于ReLU based MLP所具有的内在特殊性质，我们引入了analytic cells、analytic faces的概念，并给出了在何种条件下analytic faces会形成封闭的、分块线性的表面。并提出Analytic Marching（AM）算法，它可以绝对准确地恢复出被MLP学习得到的物体表面。
基本概念
1. 三维物体表示法：
显式：明确地表示三维物体的表面，例如mesh，它使用共面的顶点来显式地定义物体的一块表面。或者使用分块的参数曲面，曲面的性质就描述了物体的表面。
隐式：使用隐函数来描述物体的表面，例如隐函数：
，其
就定义了一个球体的表面，并且
定义了物体的外部，
定义了物体的内部。最常用的隐函数是Signed Distance Field（SDF），其数值是该点到物体表面的符号距离。
2. SDF在Deep Learning中的使用
目前主流的三维物体网格重建的流程如下：将物体图片输入到CNN，而CNN输出描述物体形状的shape feature；将3D coordinate（点P）与shape feature输入到MLP，而MLP输出物体在该点P处的SDF值。重建时，从MLP采样
个点，并使用等值面提取算法（例如MC）得到三维物体的网格表面。
但是这样就使得重建的精度与所选择的分辨率有关了。分辨率低了则精度低，分辨率高了则速度慢。并且MC得到的surface往往会丢失局部的尖锐细节。
方法
在此仅十分简单地介绍Analytic Marching的基本原理，此处的介绍十分不严谨，但是便于理解。形式化的数学描述和定理的证明请参见原文。
为了讨论简单起见，现考虑一个3层的MLP：其各层的结构为3-20-20-1，其中**函数使用ReLU，而输出层不使用任何非线性函数，暂不考虑bias。
记输入为 ，第一个隐藏层的输出为
，第二个隐藏层的输出为
，则预测的sdf为
不难发现，其中 可以替换成对角矩阵的形式，即 与
，这里的
与
是描述第一层和第二层神经元**状态的向量，例如
。简记
为描述整个MLP**状态的向量。
那么给定 ，MLP则退化成一个线性的模型。其各层的输出均可以线性地计算：
、
以及
。
而MLP退化必须要满足一些条件约束，即 必须给定不变，换言之，隐藏层神经元的**状态要与
相符合：
且
，也就是需要满足40个（2层隐藏层，每层20个神经元）不等式，我们简记为
实际上，一般情况下，不等式组 定义了一个在3D空间中的凸多面体，我们称之为analytic cell；注意到
实质上可能是analytic cell内部的零值面，所以
定义了analytic face所以接下来的问题就是依据analytic face的定义式，求解出plane
与多面体
相交的顶点。所得的顶点实质上就是mesh的顶点。
根据求解出的顶点，我们其实可以推理出与该analytic face相邻的analytic cell的 值，举例说明如下：如果当前
，并且当前的analytic face上的某条边，实际上是由第1个不等式约束所在平面
与等式约束平面
相交所得的，那么与其相邻的analytic cell的
（仅改变第一位，因为是“第1个”不等式约束）。
既然已知另一个新的 ，那么便可以循环求解，直到没有新的
出现并且所有的
都已经求解完毕，就算求解完成了。
结果
如上是定性的效果图，与之相对比的方法GM为GreedyMeshing、MC为MarchingCubes、MT为MarchingTetrahedra，DC为DualContouring。它们都依赖于采样的分辨率。而我们的Analytic Marching是绝对精确的，不依赖于参数设定。（更多的结果请参见原文）
我们的方法具有精度高、能恢复出尖锐细节、速度快等优点，具备一定的理论和实用价值。
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