基于图像的三维模型重建——相机模型与对极几何
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作者：梦寐mayshine
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相机模型：针孔相机模型（普通相机）+ 鱼眼相机模型（视角更广，飞行器，无人机等）
针孔相机模型-成像过程
一、针孔相机模型——外参数矩阵
1.点的世界坐标系到相机坐标系（右手坐标系）
世界坐标系：可以定义空间中任意一个位置，原点位置+三个坐标轴方向=坐标系姿态
相机坐标系：定义在相机上，原点是相机中心，z轴沿着相机朝向，需要定义Y轴上下
点的世界坐标：
点相机坐标：
刚体变换：旋转+平移 -> 齐次坐标形式
逆变换：
2. 相机中心在世界坐标系中的位置
：相机中心在相机坐标系中的坐标
：相机中心在世界坐标系中的坐标
3. 相机朝向（z轴）在世界坐标系中的方向
旋转矩阵第三行
相机坐标系中z轴上的一点
二、针孔相机模型——内参数矩阵
1.相机坐标系到归一化像平面坐标系
归一化像平面是虚拟的平面坐标，它与物理像平面平行，且距离相机光心距离为f=1
2.归一化像平面标系到物理像平面坐标系 ——小孔成像过程
物理像平面是实际存在的平面，它是相机CCD阵列所在的平面
3.归一化像平面到像素坐标系
一般以左上角为坐标原点，需要进行坐标系平移
正方形->像素一样,
单位是像素/毫米
三、针孔相机模型——透视矩阵
步骤1：世界坐标系->刚体变化（旋转+平移）=外参数->相机坐标系
步骤2：相机坐标系->投影=内参数->相平面
步骤3：相平面->像素坐标变换=内参数->像素
姿态估计：6个外参数 R,t
相机标定：5个内参数：
(k1,k2为径向畸变系数)
四、针孔相机模型——径向畸变
1.成因：透镜不能完全满足针孔模型假设
近焦容易发生，可能产生更高阶只取两阶，越偏离图像中心畸变效果越明显
2. 径向畸变系数的最小乘估计
3. 径向畸变矫正
两个相机-> 2D-2D:对极几何
一、2D-2D:对极几何——对极约束
x1, x2像素坐标
x1^, x2^ 相机坐标
叉乘：[t]x R 向量构造成反对称矩阵
二、2D-2D:对极几何——基础矩阵F
1.基础矩阵性质
3x3的矩阵，秩为2->不可逆
具有7个自由度，没有尺度少了一个自由度，秩为2少一个自由度
奇异值为：
极线约束：
2. 基础矩阵求解方法
直接线性变换法
8点法
最小二乘法
基于RANSAC的鲁棒方法
3. 直接线性变换法
对于一对匹配点， 根据对极约束，
三、2D-2D:对极几何——RANSAC
1.RANSAC——随机一致性采样
N：样本点个数
K：求解模型需要最少的点的个数
流程：
1）随机采样 K 个点
2）对该 K个点拟合模型
3）计算其它点到拟合模型的距离 小于一定阈值，当作内点，统计内点个数
4）重复 M 次，选择内点数最多的模型
5）利用所有的内点重新估计模型(可选)
2. RANSAC——拟合直线
3. RANSAC——采样次数的计算
N -样本点个数
K -求解模型需要最少的点的个数
p -表示内点的概率
：K个点都是内点概率
：K个至少有一个外点（采样失败）的概率
：M次采样全部失败的概率
：M次采样至少有一次成功的概率
：计算p=0.9，K=8时，想要采样成功率达到z≥0.99所需要采样次数
4. RANSAC——估计基础矩阵
算法流程
1）随机采样8对匹配点
2）8点法求解基础矩阵 Fˆ
3）奇异值约束获取基础矩阵F
4）计算误差，并统计内点个数
5）重复上述过程，选择内点数最多的结果
6）对所有内点执行2,3，重新计算 F
内点判断标准——Sampson Distance
四、2D-2D:对极几何——本征矩阵E
1.本征矩阵性质
3x3的矩阵，秩为2
具有5个自由度——E是反对称矩阵
奇异值为
——两个不为零的奇异值相等
2.相机姿态的恢复
选择正确的相机姿态
相机的世界坐标O1, O2：
，
相机的世界坐标中的朝向d1，d2
利用相机姿态R,t 和匹配点p1, p2进行三角量测得到三维点P
P 需满足同时位于两个相机的前方:
方法1:
方法2：
对两个相机成立
五、2D-2D:对极几何——单应矩阵H
1.空间中特征点位于一平面上
2.直接线性变换法
3.RANSAC-估计单应矩阵
算法流程
1）随机采样4对匹配点
2）8点法求解基础矩阵H
3）计算误差，并统计内点个数
4）重复上述过程，选择内点数最多的结果
5）对所有内点执行3,4，重新计算H
内点判断标准：
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