数据结构和算法-16-树和二叉树的概念
这篇开始学习树这种数据结构,二叉树肯定听说过,还有什么红黑树,在JDK 1.8中HashMap就采用了红黑树实现。在学习这种数据结构算法之前,看看树的概念和分类。
1.树的概念
树(tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是视作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一颗倒挂的树,也就是说它是树根朝上,er
叶朝下的。它具有以下的特点:
- 每个节点有零个或多个子节点
- 没有父节点的节点称为根节点
- 每一个非根节点有且只有一个父亲节点
- 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树。
上图就是一个树的例子,对着这张图,看看上面给出的树的四个特点。或者下面这种也是常用树的表示
2.树的术语
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。
这个理解就是,上图中B节点的度是多少,其实就是问B有多少个下属节点,每一个节点都可以形成一棵树,所以B节点的度是3(D E F三个节点)
树的度:一颗树中,最大的节点的度称为树的度。
在上面这颗树中,B节点的度最大是3,所以这棵树度就是3.
叶节点或终端节点:度为零的节点
度为0也就是这个节点下没有下属节点,形象比喻就是树的叶子部分。上图中K O P J L就是叶子节点
父亲节点或父节点:一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点。
E D F的父节点是B
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。
EDF是B节点的子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
E D F互相为兄弟节点,共同拥有一个B父节点
节点的层次:从根节点开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推
每条红线表示一层,一共有五层。
树的高度或深度:树中节点的最大层次
根据上面概念,这棵树的深度是5
堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先:从根节点所经分支上的所有节点
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林:由m(m>=0)颗互不相交的树的集合称为森林。
上面这些概念,重点体会节点深度 树的深度概念,其他什么知道就行。
3.树的分类
大方面来说,树可以分成有序和无序树。无序树没有什么研究价值,所以我们一般都研究有序树。
无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也叫*树。
有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树。
二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d,处理第d层外,其他各层的节点树均达最大值,
且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树称为完全二叉树。
满二叉树:所有叶节点都在最底层的完全二叉树。
平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树
排序二叉树(二叉查找树):也叫二叉搜索树,有序二叉树
霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据库有序,拥有多余两个子树。
上面是一个完全二叉树例子,除了最底层,其他各层的节点树都达到最大数,也就是2,当然根节点最大数也是B C两个,也是2,这样的二叉树叫做完全二叉树。
4.常见一些树的应用场景
- xml html等,元素解析就用到了树,例如我们知道的DOM元素解析xml
- 路由协议就是使用树的算法
- mysql数据库索引
- 文件系统的目录结构‘
- AI算法很多也是树的搜索,机器学习中的决策树也是树的结构。
5.二叉树概念
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)
6.二叉树的特点
- 在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点,例如第3层最多有4个节点。(i>0)
- 深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点(k>0)
- 对于任意一棵二叉树,如果其叶节点数位NO,而度数为2的节点总数为N2,则 NO=N2+1
- 具有n个节点的完全二叉树深度必为log2(n+1)
- 对完全二叉树,从上至下,从左至右编号,则编号为i的节点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1,其双亲的编号比为i/2(i=1时为根除外)