[ML笔记]梯度下降和线性梯度下降
引导
前一篇讲解代价函数作用,在监督学习的回归问题上,我们使用代价函数求解最优解,以确定假设函数。
代价函数公式
上文也提到,在参数较为复杂的情况下,代价函数的轮廓图可能如下图,该如何找到合适的
预备知识
有关导数,偏导数,方向导数,梯度,向量的概念请参考博文:
[机器学习] ML重要概念:梯度(Gradient)与梯度下降法(Gradient Descent)
梯度下降
梯度下降是一种找到代价函数最优解的方法。
梯度下降原理
代价函数是一座山,我们站在山上某个点上,我们环视四周,从上往下看,找到一个方向,向下走,下降得最快,直到下降到最底部。
梯度下降步骤
- 确定向下 每一步的步长,我们称作learning rate;
- 给定一个初始值(到山上某个点去);
- 确定一个向下的方向,向下走一步,步长为step 2规定的步长;
- 更新当前位置,回到step 3继续;
- 当下降的高度小于某个定义的值(比如0),则停止下降。
梯度下降算法
repeat util convergence: {
}
其中,α为learning rate,
梯度下降算法特点
- 初始点不同,获得的最小值也不同,因此梯度下降算法求得的只是局部最小值;
- 越接近最小值,下降速度越慢(偏导数越来越小)
梯度下降过程
如图,按照X一步步下降,起始点不同,下降到的最低点也可能不同。
需要注意的点
α值该如何选择?会有什么影响?
答: 如果取得一个合适的learning rate, 则代价函数应该越来越小(下降),正确做法是实时观察代价函数变化,如果代价函数变小了,则learning rate取得合适,如果代价函数变大了,则应该减小learning rate的值。
如果learning rate 太小了,梯度下降就会很慢,如果learning rate太大,那么梯度下降可能掠过最小值,就可能出现无法收敛,甚至出现发散的现象。如果
(θ0,θ1) 已经处于局部最小值,那么(θ0,θ1) 会如何变化?
答: leave(θ0,θ1) unchanged,因为已经在局部最小值,则导数肯定为0,则(θ0,θ1) 不会变化。固定learning rate梯度下降如何收敛?
答: 在convex函数(凸函数)底部,我们可以看到偏导数接近与0,因此最小值时,我们可以得到,θj:=θj−α∗0
越到底部,偏导数越小。因此固定步长时,收敛到底部时下降速度会越慢(特点中提到过),因此,无需慢慢减小α的值。
线性梯度下降
高数复习
开始之前,我们先来复习一点高数知识,
复合函数求导法则
和的导数等于导数的和
复习完毕,我们继续
(TODO:高数复习篇)
线性回归梯度下降
假设函数:
代价函数:
梯度下降算法:
repeat util convergence: {
}
在线性回归中,我们使用真实的代价函数和假设函数可以推导出梯度下降方程如下:
repeat util convergence: {
}
推导过程关键在于如何求
假设
因此
j=0,
j=1,
推导结束。
具体怎么使用,请听下回分解。