【矩阵论】广义逆矩阵与线性方程组求解思维导图
前言:为什么需要广义逆矩阵?
我们在书中所学的逆矩阵必须是非奇异矩阵才行,但现实生活中有大量矩阵不一定是方阵,而就算是方阵也可能是奇异
的。因此,为了解决更宽泛的矩阵问题,我们需要将逆矩阵的概念推广到奇异矩阵中,使得奇异矩阵也具有逆矩阵的主要性质,并且在非奇异的时候可以还原到通常的逆矩阵中。
一、广义逆矩阵的概念与性质
二、广义逆矩阵的应用—线性方程组的求解
由上图可知,对于如下线性方程组,若有解,则该方程是相容的,否则是矛盾方程组。
- 如果方程相容的条件是什么?
- 如果方程
相容
,其解可能有无数个,我们需要求极小范数解
- 如果是
矛盾方程组
,则解不存在,我们需要求最小二乘解
- 一般矛盾方程组的最小二乘解
不唯一
,因此,我们需要求极小范数最小二乘解
参考文献
程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.