稀疏线阵综合-数学模型

考虑一个任意三维布局的阵列天线

假设阵列包含$P$P个天线单元，则其阵列方向图表示为
$f(\theta,\varphi)=\sum^P_{p=1}T_p(\theta,\varphi)\omega_p\exp[i\beta(x_p\sin\theta\cos\varphi+y_p\sin\theta\sin\varphi+z_p\cos\theta)]$f(θ,φ)=p=1∑P​Tp​(θ,φ)ωp​exp[iβ(xp​sinθcosφ+yp​sinθsinφ+zp​cosθ)]

$T_p(\theta,\varphi)$Tp​(θ,φ)：第$p$p个阵元的单元方向图
$\omega_p$ωp​：第$p$p个阵元的复激励（幅度和相位）
$\beta=2\pi/\lambda$β=2π/λ：波数
稀疏阵列综合问题：给定期望的$f_{REF}(\theta)$fREF​(θ)，求解的最小阵元个数$P$P，以及相应的阵元位置$d_p$dp​和激励$\omega_p$ωp​。
$\min_{\{x_p,y_p,z_p,\omega_p\}_{p=1,\cdots,P}}(P)\\ s.t.\int_{\varphi_L}^{\varphi_R}\int_{\theta_L}^{\theta_R}\left|f_{REF}(\theta,\varphi)-f(\theta,\varphi)\right|^2d\theta d\varphi\leq\epsilon\\${xp​,yp​,zp​,ωp​}p=1,⋯,P​min​(P)s.t.∫φL​φR​​∫θL​θR​​∣fREF​(θ,φ)−f(θ,φ)∣2dθdφ≤ϵ

$f(\theta,\varphi)$f(θ,φ)实际上是一组以阵元激励$\omega_p$ωp​为权值系数的指数函数的线性组合。
以线性阵列为例，假设实现期望方向图所需的稀疏阵列含$P$P个阵元，并分布在跨度为$D$D的口径内。
首先将口径划分为$N$N个间距为$\Delta d$Δd的均匀网格

候选阵列的方向图可以表示为
$f(\theta)=\sum^N_{n=1}T_n(\theta)\omega_n\exp(i\beta d_n\sin\theta)$f(θ)=n=1∑N​Tn​(θ)ωn​exp(iβdn​sinθ)

$d_n=(n-1)\Delta d,n=1,\cdots,N$dn​=(n−1)Δd,n=1,⋯,N：第$n$n个候选阵元的位置
矩阵形式
$\pmb{\rm f}=\pmb{\rm A}\pmb{\rm w}$fff=AAAwww

$\pmb{\rm f}=[f(\theta_1),f(\theta_2),\cdots,f(\theta_J)]^T$fff=[f(θ1​),f(θ2​),⋯,f(θJ​)]T：方向图的采样向量
$\pmb{\rm A}$AAA：$J×N$J×N维复矩阵，$[\pmb{\rm A}]_{jn}=T_n(\theta_j)\exp(i\beta d_n\sin\theta_j)$[AAA]jn​=Tn​(θj​)exp(iβdn​sinθj​)
$\pmb{\rm w}=[\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_N]^T$www=[ω1​,ω2​,⋯,ωN​]T：激励向量
当$N$N很大时，并非所有的阵元都需要被激励，如果$\omega_n=0$ωn​=0就代表此处没有阵元。
基于压缩感知理论的稀疏阵列综合问题的数学模型：
$\min_{\rm w}\|\pmb{\rm w}\|_0\\ s.t.\|\pmb{\rm f}-\pmb{\rm f}_{REF}\|_2=\|\pmb{\rm A}\pmb{\rm w}-\pmb{\rm f}_{REF}\|_2\leq\epsilon\\$wmin​∥www∥0​s.t.∥fff−fffREF​∥2​=∥AAAwww−fffREF​∥2​≤ϵ