简单线性回归
0.前提介绍
为什么需要统计量?
统计量:描述数据特征
0.1 集中趋势衡量
0.1.1 均值 (平均数,平均值)(mean)
{6,2,9,1,2}
(6 + 2 + 9 + 1+2)/5 = 20/5 = 4
0.1.2 中位数 (median)
将数据中的各个数值按照大小顺序排列,居于中间位置的变量
0.1.2.1 给数据排序: 1,2,2,6,9
0.1.2.2 找出位置处于中间的变量:2
当n为奇数时,直接取中间的变量
当n为偶数时,取中间两个量的平均值
0.1.3 众数 (mode)
数据中出现次数最多的数
0.2
0.2.1 离散程序衡量
0.2.1.1 方差 (variance)
{6,2,9,1,2}
(1) (6-4)^2 + (2-4)^2 + (9-4)^2 + (1-4)^2 + (2-4)^2
= 4 + 4 + 25 + 9 + 4
= 46
(2) n - 1 = 5 -1 = 4
(3) 46 / 4 = 11.5
0.2.1.2 标准差 (standard deviation)
s = sqrt(11.5) = 3.39
1.介绍 : 回归(regression) Y 变量为连续数值型(continuous numerical variable)
如:房价 ,人数 , 降雨量
分类(Classification):Y 变量为类别型 (categorical variable)
如:颜色类别 , 电脑品牌,有无信誉
2.简单线性回归(Simple Linear Regression)
2.1很多做决定过程通常是根据两个或者多个变量之间的关系
2.2回归分析(regression analysis)用来建立方程模拟两个或者多个变量之间如何关联
2.3被预测的变量叫做:因变量(dependent variable),y,输出(output)
2.4被用来进行预测的变量叫做:自变量(independent variable),x ,输入(input)
3.简单线性回归介绍
3.1简单线性回归包含一个自变量(x)和一个因变量(y)
3.2以上两个变量的关系用一条直线来模拟
3.3如果包含两个以上的自变量,则称作多元回归分析(multiple regression)
4.简单线性回归模型
4.1被用来描述因变量(y)和自变量(x)以及偏差(error)之间关系的方程叫做回归模型
4.2简单线性回归的模型是:
y = b0 + b1x + e
b0 、 b1为变量 , e为偏差值,满足正态分布
5.简单线性回归方程
E(y) = B0 + B1x
这个方程对应的图像是一条直线 ,称作回归线
其中,B0是回归线的截距
B1是回归线的斜率, E(y)是在一个给定x值下y的期望值(均值)
6.正向线性关系:
随着x的值不断变大,y值也不断增大,这种关系叫做正向线性关系。
7.负向线性关系
随着x变量不断增大 y值不断变小,这种情况叫做负向线性关系
8.无关系
9.估计线性回归方程
这个方程叫做估计线性方程(estimated regression line)
其中,b0是估计线性方程的纵截距,b1是估计线性方程的斜率
是在自变量x等于一个给定值的时候,y的估计值
10.线性回归分析流程:
11.关于偏差e的假定
11.1是一个随机的变量,均值为0
11.2e的方差(variance)对于所有的自变量x是一样的
11.3e的值是独立的
11.4e满足正态分布
12.简单线性回归模型举例:
汽车卖家做广告数量与卖出汽车的数量:
ads |
sold |
1 |
14 |
3 |
24 |
2 |
18 |
1 |
17 |
3 |
27 |
分别将广告与销量进行汇总,得出如下结果:
分别计算出广告与销售的平均值,如下:
1.1如何找到简单线性回归模型的最佳回归线?
目的是找到一条直线 ,使得sum of squares最小
直线方程式:y = b0 + b1x
计算步骤:
1.先计算出x和y的平均值,即
2.将每组数据的x值和y值分别与对应的平均值相减,再将相减得到的值相乘、加总计算,作为b1的分子
3.计算每组数据的x值减去x的平均值,再将结果值平方,最后加总计算,作为b1的分母
4.将每2步比上第3步,得出变量值b1
5.最后将b1带入直接线回归方程 y = b0 + b1x ,算出b0结果,就可以得到方程式了
分子 = (1-2)(14-20)+(3+2)(24-20) + (2-2)(18-20) + (1-2)(17-20) + (3-2)(27-20)
= 6 + 4 + 0 + 3 + 7
= 20
分母 = (1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (3-2)^2
= 1+1+0+1+1
= 4
b1 = 20/4 = 5
b0 = 20 - 5 * 2 = 20 - 10 = 10
得出估计线性回归方程 : y = 10 + 5x