费雪信息 (Fisher information)

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作者：知乎用户
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首先我们看一下 Fisher Information 的定义：
假设你观察到 i.i.d 的数据费雪信息 (Fisher information) 服从一个概率分布,是你的目标参数（for simplicity，这里是个标量，且不考虑 nuissance parameter），那么你的似然函数（likelihood）就是：

为了解得Maximum Likelihood Estimate(MLE)，我们要让log likelihood的一阶导数得0，然后解这个方程，得到费雪信息 (Fisher information)
这个log likelihood的一阶导数也叫，Score function ：

那么Fisher Information，用费雪信息 (Fisher information) 表示，的定义就是这个Score function的二阶矩（second moment）。
一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明，, 从而得到：

于是得到了Fisher Information的第一条数学意义：就是用来估计MLE的方程的方差。它的直观表述就是，随着收集的数据越来越多，这个方差由于是一个Independent sum的形式，也就变的越来越大，也就象征着得到的信息越来越多。

而且，如果log likelihood二阶可导，在一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明:
费雪信息 (Fisher information)
于是得到了Fisher Information的第二条数学意义：log likelihood在参数真实值处的负二阶导数的期望。这个意义好像很抽象，但其实超级好懂。
首先看一下一个normalized Bernoulli log likelihood长啥样：

对于这样的一个log likelihood function，它越平而宽，就代表我们对于参数估计的能力越差，它高而窄，就代表我们对于参数估计的能力越好，也就是信息量越大。而这个log likelihood在参数真实值处的负二阶导数，就反应了这个log likelihood在顶点处的弯曲程度，弯曲程度越大，整个log likelihood的形状就越偏向于高而窄，也就代表掌握的信息越多。

然后，在一般情况下（under specific regularity conditions），通过对score function在真实值处泰勒展开，然后应用中心极限定理，弱大数定律，依概率一致收敛，以及Slutsky定理，可以证明MLE的渐进分布的方差是费雪信息 (Fisher information)

，即

, 这也就是Fisher Information的第三条数学意义。不过这样说不严谨，严格的说，应该是费雪信息 (Fisher information)

, 这里

是当只观察到一个X值时的Fisher Information，当有n个 i.i.d 观测值时，费雪信息 (Fisher information)

。所以这时的直观解释就是，Fisher Information反映了我们对参数估计的准确度，它越大，对参数估计的准确度越高，即代表了越多的信息。

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作者：小Q痴子
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参数估计的本质是，假设样本的数据来自于某一个分布，然后利用样本中蕴含的信息来估计参数。一个自然的问题就是：对于分布里的未知参数，这个样本数据给出了多少信息呢？Fisher Information 就衡量了这样的“信息”。

什么样的样本给出的信息更多？直觉上思考这个问题，如果一个事件发生的概率很大，那发生这件事并不能带来太多信息；相反，如果一个事件发生的概率很小，那发生这件事可以带来比较多的信息。

现在我们再回顾一下最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）的基本思想。对于随机变量费雪信息 (Fisher information) ，直觉上，当取到参数的真实值时，似然函数的值应该很大，最大似然估计的思想就是认为当取到参数的真实值时似然函数的值应该取到最大值，或者（对数）似然函数的一阶导数为0。

定义对数似然函数为费雪信息 (Fisher information) ，从而，其中是关于的导数。

根据上面的两段分析，如果费雪信息 (Fisher information) 非常接近于0，这将是意料之中的事情，因此样本没有带来太多关于参数的信息；相反，如果很大，或者说很大，那么样本就提供了比较多的关于参数的信息。所以，我们可以用来衡量提供的信息（information）。但是费雪信息 (Fisher information) 是个随机变量，于是我们就考虑的期望值。