前言

论文题目： Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
论文地址：https://arxiv.org/abs/1902.08343
源码地址：https://github.com/TianLin0509/Hybrid-Beamforming-for-Millimeter-Wave-Systems-Using-the-MMSE-Criterion

这是笔者自己发表在TCom ( IEEE Transactions on Communications) 上的论文， 因为这几天要做一些相关报告，顺便也写成一篇博客。 毕竟完成了那么多篇他人论文的读后感， 也是时候记录下自己的工作了。 何况最懂一篇文章的，一定是作者本人啦。 本博文旨在以最简练的篇幅来提炼文章的核心。

背景简介

本文的工作还是基于毫米波的混合波束成形系统。 关于混合波束成形 的 背景 和 介绍， 可以参考笔者之前的文章，

• 混合波束成形专栏|基础：深入浅出5G，毫米波，大规模MIMO与波束赋形
• 混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形

这篇文章与之前相关工作的主要区别点在于， 是以MSE为目标提出了一系列优化算法。 尽管在此之前已经有一些以MSE为优化目标的波束成形算法的设计工作， 但基本是多用户场景下， 且并未详尽地阐述该目标的意义。 从算法角度而言， 本文的算法也将性能优化了许多。

问题建模

本文可以分为两部分， 第一部分以上图所示的窄带点对点毫米波通信系统为研究对象， 提出了相关算法。 第二部分则将其拓展到了宽带OFDM系统下。 阅读完 混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形 的话， 很容易可以写出接收端得到的接收信号的表示式：

$\mathbf{y}=\mathbf{W}_{\mathrm{B}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{B}} \mathbf{s}+\mathbf{W}_{\mathrm{B}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{u}$y=WBH​WRFH​HVRF​VB​s+WBH​WRFH​u

与许多相关工作不同的是， 本文是以MSE作为优化目标：
$\mathrm{MSE} \triangleq E\left\{\left\|\beta^{-1} \mathbf{y}-\mathbf{s}\right\|^{2}\right\}$MSE≜E{∥∥​β−1y−s∥∥​2}

这里需要解释一下：严格的MSE应该就是 $\mathrm{MSE} \triangleq E\left\{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{s}\right\|^{2}\right\}$MSE≜E{∥y−s∥2}， 而这里的$\beta$β则是一个标量因子， 物理意义上是将接收到的信号放大/缩小一定的幅度， 使之更接近于原始信号。 这个MSE也被称为 modified MSE。 可以理解为用于矫正由于预编码及信道造成的信号幅度的放大/缩小。
但事实上， 因为我们研究的点对点系统中， 接收端也有波束成形操作， 因此这一步的标量scaling其实可以由接收波束赋形来完成。 那$\beta$β的意义在哪里呢？ 这其实是有相应考虑的， 这并非本文的贡献， 因为传统的波束成形也会面临同样的疑问， 但这是本文需要解答的， 引入$\beta$β主要出于三点考虑：

• 第一， 在传统的MIMO波束成形研究中， 在设计预编码矩阵的时候， 如果以原始的MSE（无$\beta$β）为目标， 会发现预编码矩阵的设计与噪声能量无关！ 这其实不符合MSE的初衷。 而如果引入$\beta$β， 预编码矩阵的解就与噪声能量相关， 也因此可以达到更合理的性能。
• 第二， 从数学意义上而言， 混合波束成形问题中，需要求解四个矩阵，愈发复杂。 而以传统MSE为目标求解的时候， 考虑发送的功率约束， 需要引入拉格朗日乘子， 这个乘子非常难求，且影响后续对其他矩阵的设计。 而引入$\beta$β后， 后面的推导会证明大大简化了数学求解难度。
• 第三， 引入$\beta$β后， 可以使得 固定接收端解发送端 和 固定发送端解接收端 两个子问题可以化为完全一致的形式， 也就可以用同样的算法来求解了。

最后，为什么要以MSE为目标求解， 而不是用Rate等呢？ 因为在传统通信中， MSE是一个经典且合理的指标， 完全有理由同样应用在5G的毫米波通信中。 其次， MSE为目标往往能保证更好的BER性能， 而且由于目标的不同， 数学问题完全不一样了， 推导的算法也会有较大的变化。 最后， 我们可以将MSE的算法推广到WMSE(weight MSE), 这时的解将会有非常不错的Rate性能。

波束成形设计： 数字波束成形

如 混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形 中所述，在求解HBF优化问题的时候， 由于总共有4个矩阵， 主流的做法都是， 将发送端和接收端解耦， 其实就是简单的： 先固定接收端求解发送端， 再固定发送端求解接收端， 然后迭代。 我们的第一步也是如此： 先固定接收端， 求解发送端。 首先令$\mathbf{V}_{\mathrm{B}}=\beta \mathbf{V}_{\mathrm{U}}$VB​=βVU​， 可以得到目标函数：

$\begin{array}{ll} \operatorname{minimize}_{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{V}_{\mathrm{U}}, \beta} & \operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}-\mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}\right. \left.-\mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}+\sigma^{2} \beta^{-2} \mathbf{W}^{H} \mathbf{W}+\mathbf{I}_{N_{\mathrm{a}}}\right) \\ \text { subject to } & \operatorname{tr}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H}\right) \leq \beta^{-2} ; \left|\left[\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right]_{i j}\right|=1, \forall i, j \end{array}$minimizeVRF​,VU​,β​ subject to ​tr(H1H​VRF​VU​VUH​VRFH​H1​−H1H​VRF​VU​−VUH​VRFH​H1​+σ2β−2WHW+INa​​)tr(VRF​VU​VUH​VRFH​)≤β−2;∣∣∣​[VRF​]ij​∣∣∣​=1,∀i,j​

可以看到， 这一步中我们只需要优化发送预编码矩阵 （数字阵和模拟阵）及 引入的$\beta$β标量。 由于模拟阵有恒模约束，求解困难， 因此我们先求解数字阵。

很容易通过反证法得知： 必在达到最大功率时达到最佳性能， 因此根据第一个限制条件的等号成立时：

$\beta=\left(\operatorname{tr}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H}\right)\right)^{-\frac{1}{2}}$β=(tr(VRF​VU​VUH​VRFH​))−21​

再用拉格朗日乘子法， 求解上面的问题， 利用KKT法则， 就可以求得数字阵的闭式解：
$\mathbf{V}_{\mathrm{U}}=\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} w \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}$VU​=(VRFH​H1​H1H​VRF​+σ2wVRFH​VRF​)−1VRFH​H1​
一些符号的具体定义可以找一下论文的对应， 这里就不再赘述了。 而将解得的$\mathbf{V}_{\mathrm{U}}$VU​代入目标函数中后， 目标函数就转化成了只和$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​相关的单变量函数了：
$J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right) \triangleq \operatorname{tr}\left(\left(\mathbf{I}_{\mathrm{N}_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{\sigma^{2} w} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}\right)^{-1}\right)$J(VRF​)≜tr((INe​​+σ2w1​H1H​VRF​(VRFH​VRF​)−1VRFH​H1​)−1)
但是注意， $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​是有恒模约束的， 因此需要设计特定的算法求解。

波束成形设计： 模拟波束成形

接上一节， 本文给出了两种算法来求解$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​

流形优化

也叫黎曼优化。 本质上是一种梯度下降法， 然而基本的梯度下降法是在整个欧式空间中进行下降， 因此无法保证下降后的解仍满足 恒模约束， 所以无法直接用于求解$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​。 而流形优化， 则是首先将满足恒莫约束的所有可行解表示为一个流形， 其后每步迭代后都将解映射回这个流形之上， 也因此可以确保结果永远满足恒模约束。 最重要的是， 已经有严谨的数学证明了这样的迭代过程是严格收敛的， 因此可以将 流形优化 理解为 在可行集上进行下降的梯度下降法。

这里推荐大家去看

• X. Yu, J. Shen, J. Zhang, and K. B. Letaief, “Alternating minimization algorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems,” IEEE J. Sel. Topics Signal Process., vol. 10, no. 3, pp. 485-500, Apr. 2016.
  本文是借鉴和套用了他们工作提出的MO算法。 区别在于，我们的目标函数不同， 也因此得到了不同的性能。 因为我们的目标函数更复杂也更直接一些（直接以MSE为目标），因此会有更好的性能。 要想使用流形优化， 你需要求解目标问题的梯度， 然后就可以在这个框架下用下降法求出一个解了。 感兴趣的读者可以看一下这篇引文和我的paper， 基本就清楚MO的用法了。

GEVD算法

MO算法的性能卓绝， 但是复杂度偏高， 因此这里提出了一个低复杂度的算法 —— 基于GEVD（广义特征分解）。 首先， 基于一个常用的近似关系$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \approx N_{\mathrm{t}} \mathbf{I}_{N_{\mathrm{RF}}}$VRFH​VRF​≈Nt​INRF​​，我们可以简化下目标函数：
$J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right) \approx \operatorname{tr}\left(\left(\mathbf{I}_{N_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{\sigma^{2} w N_{\mathrm{t}}} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}\right)^{-1}\right)$J(VRF​)≈tr((INe​​+σ2wNt​1​H1H​VRF​VRFH​H1​)−1)
但这个问题还是非常难以求解， 因此我们提出了一种思路：固定$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​中的其余列， 每次迭代只优化1列。 通过数学变换， 我们可以把问题转化为一个GEVD问题， 并直接通过广义特征分解，得到那一列的最优解。 经过多次迭代后， 就可以得到一个不错的$\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$VRF​。详细的推导也见paper。 需要指出的是， 在这个求解过程中， 我们暂时忽略了恒模约束， 因此事实上，我们每次通过特征分解得到一列解之后， 需要对每个元素做一个模归一操作（相位提取）。 这一步没有任何的收敛性可言， 因此， 这个算法相比于MO算法， 没有严谨的收敛证明。然而幸运的是， 在仿真中他还是表现出了随着迭代单调下降的特性。

波束成形设计： 接收端

使用MSE为目标的另一妙处就是， 你会发现固定发送端，求解接收端的时候， 问题形式好发送端的形式一模一样。 因此，我们可以直接套用发送端的算法，用于接收端的求解，而无需额外设计了。 通过发送端和接收端的相互迭代， 最终就可以得到一组性能优异的解。

拓展到宽带系统

宽带系统，现在主流一般指的就是OFDM系统了。

系统框图如图所示。 对于数字波束成形而言， 可以对每个子载波进行设计， 因此从每个子载波来看，和窄带系统没有任何区别。 但是问题就在于模拟波束成形， 是对于所有子载波一致的。 也因此，我们设计的时候需要的不是将某个子载波上的MSE最小化的模拟阵，而是一个可以将sum-MSE最小化的解， 那么问题就变成：
$\begin{array}{cl} \underset{\mathbf{V}_{\mathrm{B}, k}, \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{W}_{\mathrm{U}, k}, \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}, \beta_{k}}{\text { mibject to }} & \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{MSE}_{k} \\ \text { subject to } & \left\|\mathbf{V}_{k}\right\|_{F}^{2} \leq 1 \\ & \left.\| \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right]_{i j} \mid=1, \forall i, j \\ & \left|\left[\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}\right]_{m l}\right|=1, \forall m, l \end{array}$VB,k​,VRF​,WU,k​,WRF​,βk​ mibject to ​ subject to ​∑k=0N−1​MSEk​∥Vk​∥F2​≤1∥VRF​]ij​∣=1,∀i,j∣[WRF​]ml​∣=1,∀m,l​

数字波束成形的求解和窄带一样——因为可以按每个子载波单独设计， 这里直接列出结果：
$\mathbf{V}_{\mathrm{U}, k}=\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1, k} \mathbf{H}_{1, k}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} w_{k} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1, k}$VU,k​=(VRFH​H1,k​H1,kH​VRF​+σ2wk​VRFH​VRF​)−1VRFH​H1,k​
接下来还是对模拟波束成形的设计。
首先，流形优化算法可以很简单的拓展到宽带场景，本来难点就在于梯度的求解，但利用下式：
$\nabla J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)=\sum_{k=0}^{N-1} \nabla J_{k}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)$∇J(VRF​)=k=0∑N−1​∇Jk​(VRF​)
而$\nabla J_{k}$∇Jk​的表示式和窄带是一样的推导。 有了梯度， 那么流形优化算法仍能应用。
然而GEVD算法就没法简单的拓展了， 因此， 本文提出了基于特征值分解的EVD算法。 复杂的目标显然无法直接使用EVD求解， 所以需要进行一些近似。 我们分别求取了原式的上界和下界， 分别对应的提出了EVD-LB 和 EVD-UB算法。同样的， 由于暂时的忽略了恒模约束， 在求解完成后也需要一步相位提取操作， 这也造成了算法并非严谨收敛。 这里懒得一个个详述了， paper里有详细的推导。

仿真性能

窄带情形

宽带情形

总结

相比于其他相关的工作， 本文提出的算法不仅在BER上有显著的飞跃， 在Rate性能上也有不错的提升。这同时也说明了， 除了以最主流的Rate指标为优化目标外， MSE也是一个可以考虑的准则。