Differences between four kinds of filters

摘要：本文研究了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器和数字滤波器的频率响应特性，单位脉冲响应以及零极点分布图，并定性解释了零极点分布图与频率响应特性的关系。

1.Analog Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi; w_s=0.6\pi; A_p=3dB ; A_s=10dB $
$H(s)=\frac {2.232}{s^3+2.614s^2+3.416s+2.232}$H(s)=s3+2.614s2+3.416s+2.2322.232​

b.High Pass

$w_p=0.6\pi w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp​=0.6πws​=0.4π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(s)=\frac {s^3}{s^3+3.625s^2+6.569s+5.953}$H(s)=s3+3.625s2+6.569s+5.953s3​

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp1​​=0.4π;wp2​​=0.6π;ws1​​=0.3π;ws2​​=0.7π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(s)=\frac {0.4196s^2}{s^4+0.9161s^3+5.157s^2+2.17s+5.611}$H(s)=s4+0.9161s3+5.157s2+2.17s+5.6110.4196s2​

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi;w_{p_2}=0.7\pi; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp1​​=0.3π;wp2​​=0.7π;ws1​​=0.4π;ws2​​=0.6π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(s)=\frac {s^4+4.737s^2+5.611}{s^4+1.539s^3+5.922s^2+3.646s+5.611}$H(s)=s4+1.539s3+5.922s2+3.646s+5.611s4+4.737s2+5.611​

Discussion

（1）比较四个滤波器的频率响应$|H(j\omega)|$∣H(jω)∣，$\omega\subseteq[-2\pi,2\pi]$ω⊆[−2π,2π]，横坐标坐标归一化$\pi$π。

（2）比较四个滤波器的单位脉冲响应$h(t)$h(t)

（3）比较四个滤波器的零极点分布图

（4）定性分析零极点与频率响应$|H(j\omega)|$∣H(jω)∣的关系。
考虑$s=j\omega$s=jω：

• 当低通时，$\omega$ω很小，所以分子不能有$s$s项，且必须有常数项，所以低通滤波器没有零点。
• 当高通时，$\omega$ω很大，所以分母要和分子同阶，故零极点的数目相同才能保证高频时$|H(j\omega)|$∣H(jω)∣接近1。
• 分子分母同阶还有一个有趣的现象是，化简$H(s)$H(s)时，会出现常数1，对应在$h(t)$h(t)是$\delta(t)$δ(t)，表明在高频时，$h(t)$h(t)的其他分量都与信号卷积为0，只有$\delta(t)$δ(t)的贡献，所以可以通过。这也是为什么$h(t)$h(t)第2、4图中的$t=0$t=0的位置为负的原因，$\delta(t)$δ(t)画不出来，只能画出其他部分。
• 带阻滤波器具有低通和高通的性质，所以有常数项，也有最高项；而带通滤波器没有低通和高通的性质，故没有常数项和最高项，但有平方项，故在某$\omega$ω处存在极值，即为通过的频率带。

2.Digital Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp​=0.4π;ws​=0.6π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(z)=\frac {0.2292+0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1-0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}$H(z)=1−0.2675z−1+0.1843z−20.2292+0.4584z−1+0.2292z−2​

b.High Pass

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp​=0.6π;ws​=0.4π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(z)=\frac {0.2292-0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1+0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}$H(z)=1+0.2675z−1+0.1843z−20.2292−0.4584z−1+0.2292z−2​

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi ; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp1​​=0.4π;wp2​​=0.6π;ws1​​=0.3π;ws2​​=0.7π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(z)=\frac {0.0995-0.1989z^{-2}+0.0995z^{-4}}{1+0.9316z^{-2}+0.3294z^{-4}}$H(z)=1+0.9316z−2+0.3294z−40.0995−0.1989z−2+0.0995z−4​

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi ; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$wp1​​=0.3π;wp2​​=0.7π;ws1​​=0.4π;ws2​​=0.6π;Ap​=3dB;As​=10dB;
$H(z)=\frac {0.4733+0.9467z^{-2}+0.4733z^{-4}}{1+0.6469z^{-2}+0.2465z^{-4}}$H(z)=1+0.6469z−2+0.2465z−40.4733+0.9467z−2+0.4733z−4​

Discussion

（1）比较四个滤波器的频率响应$|H(j\Omega)|$∣H(jΩ)∣，$\Omega\subseteq[-2\pi,2\pi]$Ω⊆[−2π,2π]，横坐标坐标归一化$\pi$π。

（2）比较四个滤波器的单位脉冲响应$h[k]$h[k]

（3）比较四个滤波器的零极点分布图

（4）定性分析零极点与频率响应$|H(j\Omega)|$∣H(jΩ)∣的关系。
由零极点可以得到
$H(j\Omega)=\frac{(z-p_1)(z-p_2)}{(z-z_1)(z-z_2)}$H(jΩ)=(z−z1​)(z−z2​)(z−p1​)(z−p2​)​
的形式。考虑$z=e^{j\Omega}$z=ejΩ，不同的$\Omega$Ω实际对应零极点图中单位圆上的不同位置：

而$|H(j\Omega)|$∣H(jΩ)∣的大小实际上等价于
$\frac{绿色线段的长度乘积}{红色线段的长度乘积}$红色线段的长度乘积绿色线段的长度乘积​
两个零点表示乘两次。因此容易看出：

• $\Omega$Ω为低频0附近，图1图4的结果较大，表示低通和带阻滤波器可以低频通过。而图2图3的结果为零，表示高通和带通滤波器不能低频通过。
• $\Omega$Ω为高频$\pi$π附近，图1图3的结果为0，表示低通和带通滤波器不能高频通过。而图2图4的结果较大，表示高通和带阻滤波器可以高频通过。
• 我们可以很容易从零点分布看出哪些频率的波不能通过。极点与x轴的位置会影响$A_p,A_s$Ap​,As​的衰减情况。