算法的时间复杂度（大O表示法）

首先我们先来看个例子, 我想找个1～100的数字`，你的目标是以最少的次数猜到这个数字。你每次猜测后，我会说小了、大了或对了。下面我们来看下两种简单的方法（方法有很多种），再来引入算法的运行时间！``

方法一（循环遍历）：

假设你从1开始依次往上猜，猜测过程会是这样!

这是简单查找，更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是99，
你得猜99次才能猜到！

方法二（二分查找）：

（如果我想的数字是99）首先从100中 找到中间的值50，然后和50比较，小了？继续找中间值75，和75比较，小了？，继续找中间值88，和88比较，小了？继续找中间值94，和94比较，小了？继续找中间值97，和97比较，小了？继续找中间值99，和99比较，相等！最终找到了99这个数字！

使用二分查找时，每次都排除一半的数字！不管是哪个数字，你在7次之内都能猜到，因为每次猜测都将排除很多数字！对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要 log ⁡ 2 n \log_2 n log2​n步，而简单查找最多需要n步。

你可能不记得什么是对数了，但很可能记得什么是幂。log10100相当于问“将多少个10相乘的结果为100”。答案是两个：10 × 10 = 100。因此，log10100 = 2。对数运算是幂运算的逆运算。

2 ² ↔ \leftrightarrow ↔ l o g 2 4 {log_2{4}} log2​4 = 2
2 ³ ↔ \leftrightarrow ↔ l o g 2 8 {log_2{8}} log2​8 = 3
2 ⁴ ↔ \leftrightarrow ↔ l o g 2 16 {log_2{16}} log2​16 = 4
对数是幂运算的逆运算 讨论运行时间时，log指的都是log2。使用简单查找法查找元素时，在最糟情况下需要查看每个元素。因此，如果列表包含8个数字，你最多需要检查8个数字。而使用二分查找时，最多需要检查log n个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元素，因为log 8 = 3（2 ³ = 8）。如果列表包含1024个元素，你最多需要检查10个元素，因为log 1024 = 10（2 ¹⁰ =1024）。`

大O 表示法

大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。实际上，你经常要使用别人编写的算法，在这种情况下，知道这些算法的速度大有裨益。下面将介绍大O表示法是什么，并使用它列出一些最常见的算法运行时间。还是先来看个小例子！需要编写一个查找算法， 这个算法在火箭即将登陆月球前开始执行，帮助计算着陆地点，必须在10秒钟内找出着陆地点，否则火箭将偏离方向！为确保万无一失，Bob需要计算列表包含100个元素的情况下需要的时间！

例子分析：

假设检查一个元素需要1毫秒。使用简单查找时，必须检查100个元素，因此需要100毫秒才能查找完毕。而使用二分查找时，只需检查7个元素（ l o g 2 100 log_2100 log2​100大约为7），因此需要7毫秒就能查找完毕。然而，实际要查找的列表可能包含10亿个元素，在这种情况下，简单查找需要多长时间呢？二分查找又需要多长时间呢？Bob使用包含10亿个元素的列表运行二分查找，运行时间为30毫秒（log21 000 000 000大约为30）。他心里想，二分查找的速度大约为简单查找的15倍，因为列表包含100个元素时，简单查找需要100毫秒，而二分查找需要7毫秒。因此，列表包含10亿个元素时，简单查找需要30 × 15 = 450毫秒，完全符合在10秒内查找完毕的要求。Bob决定使用简单查找。这是正确的选择吗？不是。实际上，Bob错了，而且错得离谱。列表包含10亿个元素时，简单查找需要10亿毫秒，相当于11天！为什么会这样呢？因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同。

也就是说，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。Bob以为二分查找速度为简单查找的15倍，这不对：列表包含10亿个元素时，为3300万倍！有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是大O表示法的用武之地。

大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n),二分查找需要执行 l o g 2 n log_2 n log2​n次操作。使用大O表示法，这个运行时间怎么表示呢？O( l o g 2 n log_2 n log2​n),单位秒呢？大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。一般而言，大O表示法像下面这样:

这指出了算法需要执行的操作数。之所以称为大O表示法，是因为操作数前有个大O!

一些常见的大O 运行时间

下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。

1. O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。
2. O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。
3. O(n * log n)，快速排序——一种速度较快的排序算法。
4. O(n2)，选择排序——一种速度较慢的排序算法。
5. O(n!)，一种非常慢的算法。

这些算法不懂可以点击这里，再看下例子，假设你要绘制一个包含16格的网格，且有5种不同的算法可供选择，这些算法的运行时间如上所示。如果你选择第一种算法，绘制该网格所需的操作数将为4（log 16 = 4）。假设你每秒可执行10次操作，那么绘制该网格需要0.4秒。如果要绘制一个包含1024格的网格呢？这需要执行10（log 1024 = 10）次操作，换言之，绘制这样的网格需要1秒。这是使用第一种算法的情况。第二种算法更慢，其运行时间为O(n)。即要绘制16个格子，需要执行16次操作；要绘制1024个格子，需要执行1024次操作。执行这些操作需要多少秒呢？下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：

还有其他的运行时间，但这5种是最常见的。这里做了简化，实际上，并不能如此干净利索地将大O运行时间转换为操作数，但就目前而言，这种准确度足够了。等学习其他一些算法后，回过头来再次讨论大O表示法。

大O 运行时间平均情况，最佳情况和最糟情况

就拿快速排序来说吧！假设你总是将第一个元素用作基准值，且要处理的数组是有序的。由于快速排序算法不检查输入数组是否有序，因此它依然尝试对其进行排序。

注意，数组并没有被分成两半，相反，其中一个子数组始终为空，这导致调用栈非常长。现在假设你总是将中间的元素用作基准值，在这种情况下，调用栈如下。

调用栈短得多！因为你每次都将数组分成两半，所以不需要那么多递归调用。你很快就到达
了基线条件，因此调用栈短得多。第一个示例展示的是最糟情况，而第二个示例展示的是最佳情况。在最糟情况下，栈长为O(n)，而在最佳情况下，栈长为O(log n)。现在来看看栈的第一层。你将一个元素用作基准值，并将其他的元素划分到两个子数组中。这涉及数组中的全部8个元素，因此该操作的时间为O(n)。在调用栈的第一层，涉及全部8个元素，但实际上，在调用栈的每层都涉及O(n)个元素。

即便以不同的方式划分数组，每次也将涉及O(n)个元素。

因此，完成每层所需的时间都为O(n)。

在这个示例中，层数为O(log n)（用技术术语说，调用栈的高度为O(log n)），而每层需要的时间为O(n)。因此整个算法需要的时间为O(n) * O(log n) = O(n log n)。这就是最佳情况。在最糟情况下，有O(n)层，因此该算法的运行时间为O(n) * O(n) = O(n²)。这里要告诉你的是，最佳情况也是平均情况。只要你每次都随机地选择一个数组元素作为基准值，快速排序的平均运行时间就将为O(n log n)。快速排序是最快的排序算法之一，也是D&C典范（divide and conquer 分而治之）

总结：

1. 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
2. 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
3. 算法的运行时间用大O表示法表示。
4. 例子中O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。