最容易理解最全的快排的最好时间复杂度分析

 

void QSort(SqList *L,int low,int high)
{
    int pivot;
    if(low<high){
        pivot=Partition(L,low,high);//返回枢轴，操作次数为n
       QSort(L,low,pivot-1);//对枢轴左边进行排序
       QSort(L,pivot+1,high);//对数轴右边进行排序
    }
}

 

最好的情况下，枢轴对两边的划分都很均匀，用递归树来表示如下图：

方法一：

根据代码我们知道，每一层的递归操作次数为该次递归所传入的元素个数，忽略每次减去的枢轴（1个元素并没有给到下一层，但是每层这里减掉一个常数对复杂度的分析影响不大，所以暂时忽略），即：

第1层是n次，

第2层有2次递归，每次n/2次，共n次操作，

第3层有4次递归，每次n/4次，共n次操作，

……

（最后一层）第k层有k次递归，每次n/2^k次，共n次操作

由于递归结束的条件是只有一个元素，所以这里的n/2^k=1   =>   k=logn 

即递归树的深度为logn

时间复杂度=每层的操作次数*树的深度=nlogn 即：O(nlgn);

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方法二：

我们用T(n)来表示时间复杂度，有：

解这个递推公式：

有代入上一个公式有

有代入上一个公式有

...

最后一层递归有代入上一个公式有

已知最后一层递归时操作次数为1，，有

带入公式得

有T(1)=0;

所以  即：O(nlgn);

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方法三：

主定理求解递归式：

    令a>=1和b>1是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：

,其中n/b为向上或向下取整。那么T(n)有如下渐近界：

   1、若对某个常数>0,有,则;

   2、若,则;

   3、若对某个常数>0,有,且对某个常数c<1和所有足够大的n有，则;

关于以上几种情况的解释可以看算法导论第三版P54，这里稍微解释一下：

（用来分析算法复杂度的话可以把和O看成是相同的，想要具体了解的自行百度或者我后面可能再加进来）

三种情况的每一种我们将函数f(n)与进行比较，这两个之中的较大解决定了递归式的解，大小相当的情况下则乘上一个对数因子

接下来通过这种方法来计算快排的时间复杂度：

递推公式：

主定理：

所以a=2,b=2,,对应第二种情况，所以

是不是很简单……

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后面再写平均和最差吧，或者可以看这篇博文

https://www.cnblogs.com/fengty90/p/3768827.html

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如果我理解的有什么问题希望您能批评指针，我会进一步学习并修改，谢谢~