频域分析之稳定裕度

我们来看频域分析中的非常重要的概念：稳定裕度

首先来看稳定裕度的定义：若 $Z=P-2 N=0$ (其中 $P=0$ )，则奈奎斯特曲线 $G(jw)H(jw)$ 过 $(-1,j0)$ 点时，系统临界稳定，相频和幅频同时满足条件:

$\left\{\begin{array}{l}{A(\omega)=1} \\ {\varphi(\omega)=(2 k+1) \pi \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots}\end{array}\right.$

系统远离平衡点的程度，即可用稳定裕度来表示，如下图所示：

频域分析之稳定裕度

Q:为什么穿越 $(-1,j0)$ 点时为临界状态？

A:可以看出，在稳定裕度的定义中假定了 $P=0$ ，即系统的开环正极点数为0，由奈奎斯特稳定性判据，系统的闭环正极点数为 $Z=2N$ ，奈奎斯特曲线逆时针包围 $(-1,j0)$ 点的圈数(沿相角增大方向穿越 $(-1,j0)$ 左半实轴次数)即为闭环正极点数，我们自然想到，若系统奈奎斯特曲线均在 $(-1,j0)$ 点右侧，那么就不存对 $(-1,j0)$ 左半实轴的穿越，闭环系统也就没有正极点了，所以 $(-1,j0)$ 点是系统稳定的临界点，稳定裕度刻画了系统从稳定状态变化到不稳定状态时幅值和相角的”变化程度”；

注意：稳定裕度只对最小相位系统适用，因为在稳定裕度的定义中假定了系统没有开环正极点(这里稍微有些疑惑，最小相位系统是指在 $s$ 右半平面既无零点也无极点的系统，而此处只说明了系统开环传递函数没有正极点)

相角裕度 $\gamma$

系统截止频率 $w_c$ 处，幅值满足条件 $A\left(\omega_{c}\right)=\left|G\left(j\omega_{c}\right) H\left(j \omega_{c}\right)\right|=1$ 时，若其相角再减小 $\gamma$ 后，将达到临界稳定条件(穿过 $(-1,j0)$ 点)，即：

$\angle {G\left(j \omega_{c}\right) H\left(j \omega_{c}\right)}-\gamma=-180^{\circ}$

所以：

$\gamma=180^{\circ}+\angle {G\left(j \omega_{r}\right) H\left(j \omega_{c}\right)}$

称为相角裕度。

当 $\gamma >0$ 时，系统稳定；当 $\gamma=0$ 时，系统临界稳定；当 $\gamma <0$ 时，系统不稳定。

幅值裕度 $h$

设系统的穿越频率为 $w_x$ ， $w_x$ 满足相角条件

$\varphi\left(\omega_{x}\right)=\angle G\left(j \omega_{x}\right) H\left(j \omega_{x}\right)=(2 k+1) \pi, k=0, \pm 1，\pm 2，…$

若幅值再增大 $h$ 倍后，系统达到临界稳定条件，即：

$h\left|G\left(j \omega_{x}\right) H\left(j \omega_{x}\right)\right|=1$

可得：

$h=\frac{1}{\left|G\left(j \omega_{x}\right) H\left(j \omega_{x}\right)\right|}$

若在对数坐标系下，则：

$h(\mathrm{dB})=-20 \lg \left|G\left(j \omega_{x}\right) H\left(j \omega_{x}\right)\right|$

$h$ 称为幅值裕度。

当 $h>1$ 或者 $h>0dB$ 时，系统稳定；当 $h=1$ 或者 $h=0dB$ 时，系统临界稳定；当 $h<1$ 或者 $h<0dB$ 时，系统不稳定。

频域分析之稳定裕度

Q:为什么穿越(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点时为临界状态？

相角裕度γ\gammaγ

幅值裕度hhh

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相角裕度 $\gamma$

幅值裕度 $h$