热传导方程与图像平滑和增强

热传导方程与图像处理

热传导方程：

求解的时候把它看成纯信号问题，把t看作常数，则变成了求解线性移不变系统的传递函数。此时

每一个t对应一个LIT系统，对上式进行傅立叶变换：

这是一个一阶微分方程（第一个等式左边的平方应当去掉），其解为：

由傅立叶反变换得：

这实际上就是一个高斯函数，其方差为2t。

另外，我们在构建图像的多尺度空间时，常常用高斯核与图像卷积：

其中，

具有半群性质的算子T，有一个无穷小生成元：

在高斯核下，这里的A应该等于多少呢？这里就牵涉到了热传导方程的使用：

而

由上面我们求解热传导方程得到启发，我们看一下g的二阶导（把lambda看成常数）：

比对一下，我们惊奇地发现：

现在，我们把得到的热传导形式的等式代入上面求解无穷小生成元的求极限中：

（因为：

）

对于任意一个lambda0，都有，

如果引入一个人工参数k，

令k=2，则有热传导的常见形式：

Laplace低通滤波

我们现在知道了u(x,y,t)是使用高斯函数对u(x,y)进行卷积，实际上就是低通滤波。如果我们用泰勒展开估计u(x,y,t)，在变量t=0附近展开：

这就是基于Laplace算子的低通滤波去噪。此时t>0，平滑了高频分量。

选择一个合适的t，对图像进行滤波：

可以看出这个表达式类似于梯度下降法，其本质也就是梯度下降，因此该方法可以适度迭代。

Laplace图像增强

而如果将时间t倒转，就会加强高频分量，使图像边缘更突出，这就引出了图像的Laplace增强（由Dennis Garbor提出）：

此时的t只能选一个很小的值（Garbor给出的值是约为0.05），如果高频分量增强过度，会出现“**”现象（图像出现很多噪点）。

实际中，我们利用模板近似计算Laplace算子：

由于Laplace算子是各向同性的（将图像旋转后，Laplace算子值不变），对各个方向都进行增强，容易使高频分量增强过度。

证明如下：

（x',y'）是（x,y）的旋转，

而我们希望的是对真正的高频分量，也就是图像扩散的方向进行增强，由此，Garbor又提出了各向异性增强。

如果把图像信号看成波，边缘的法向是波的传播方向，变化剧烈，应当增强，而边缘的切向是图像轮廓，应当尽量使其平滑。各向异性增强的思想就是将图像沿法向增强，沿切向不变或者平滑。

将Laplace算子沿梯度方向n和与其垂直的方向s进行分解：

则上述图像增强的表达式变为：

按照各向异性增强的思想，Garbor提出应当这么做：

1.只沿法向增强

2.沿法向增强，切向平滑

当然了，这个各向异性增强有很多变种和改进，比如加入迭代。