考研复习：有关连续的定理、间断点及其分类
连续
初等函数的连续性
一 切 基 本 初 等 函 数 都 是 其 定 义 域 上 的 连 续 函 数 一切基本初等函数都是其\pmb{定义域}上的连续函数 一切基本初等函数都是其定义域定义域定义域上的连续函数
↓ ↓ ↓
（ 任 何 初 等 函 数 都 是 经 有 限 次 四 则 运 算 和 复 合 运 算 得 到 的 ） （任何初等函数都是经有限次四则运算和复合运算得到的） （任何初等函数都是经有限次四则运算和复合运算得到的）
↓ ↓ ↓
所 以 ， 任 何 初 等 函 数 都 是 其 定 义 区 间 上 的 连 续 函 数 所以，任何初等函数都是其\pmb{定义区间}上的连续函数 所以，任何初等函数都是其定义区间定义区间定义区间上的连续函数
最大值与最小值定理
f
f
f是定义在数集D上的函数，若存在任意
x
0
∈
D
x_0∈D
x0∈D，对一切
x
∈
D
x∈D
x∈D,有
f
(
x
0
)
≥
f
(
x
)
f(x_0)≥f(x)
f(x0)≥f(x)
则称
f
f
f在D上有最大值。（最小值同理）
介值性定理
设函数
f
f
f在闭区间[a,b]上连续，
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
f(a)≠f(b)
f(a)=f(b)，有下图存在
推论：根的存在性定理
设函数
f
f
f在闭区间[a,b]上连续，
f
(
a
)
f(a)
f(a)与
f
(
b
)
f(b)
f(b)异号，即（
f
(
a
)
f
(
b
)
<
0
f(a)f(b)<0
f(a)f(b)<0），则至少存在一点
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0∈(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f(x)=0
间断点及其分类
如果函数 f f f有定义，若 f f f在 x 0 x_0 x0处无定义或有定义但不连续，则称 x 0 x_0 x0为函数 f f f的间断点或不连续点。
如果 x 0 x_0 x0为 f f f的间断点，则必会出现下列情形之一：
（条件一） f f f在 x 0 x_0 x0无定义，或极限 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x) x→ x0limf(x)不存在
（条件二） f f f在 x 0 x_0 x0有定义，且极限 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x) x→ x0limf(x)存在，但 lim x → x 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 ) \lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x)≠f(x_0) x→ x0limf(x)=f(x0)
根据间断点的类型可以分为下面类型：