高等数学期末总复习DAY17.第一类曲面积分、第二类曲面积分、高斯公式、

DAY17.

第一类曲面积分

对面积的曲面积分

形式：$\iint_{\sum} f(x,y,z) d_s$∬∑​f(x,y,z)ds​

例题

求$\iint_{\sum} d_s$∬∑​ds​ 其中$\sum = 2 - (x^2+y^2)$∑=2−(x2+y2)在 xoy 平面上的部分

解：

$\sum$∑的区域画图为：

总体为一个圆锥体，其中投影面为S $\begin{cases} z = 0 \\ x^2+y^2 \leqslant 2\end{cases}${z=0x2+y2⩽2​

$\iint_{\sum} d_s$∬∑​ds​

$= \iint_{D_{xoy}} \sqrt{1+4x^2+4y^2}d_xd_y$=∬Dxoy​​1+4x2+4y2​dx​dy​

$= \int_0^{2\pi} d_{\theta} \int_0^{\sqrt 2 } \sqrt{1+4 \rho^{2}}\rho d_{\rho}$=∫02π​dθ​∫02​​1+4ρ2​ρdρ​

$=2 \pi * \frac{1}{8} \int_0^{\sqrt 2} \sqrt{1+4 \rho^2}d_{1+4\rho^2}$=2π∗81​∫02​​1+4ρ2​d1+4ρ2​

$= \frac{13}{3}\pi$=313​π

第二类曲面积分

对坐标的曲面积分

此时的积分形式为： $I = \iint_{\sum} P(x,y,z)d_yd_z+Q(x,y,z)d_xd_z+R(x,y,z)d_xd_y$I=∬∑​P(x,y,z)dy​dz​+Q(x,y,z)dx​dz​+R(x,y,z)dx​dy​

例题

求 $I = \iint_{\sum} x^{2} y^2 z d_xd_y$I=∬∑​x2y2zdx​dy​，其中$\sum$∑为 $x^2+y^2+z^2 =a^2$x2+y2+z2=a2的下半部分。

解：画出$\sum$∑的区域如图

$D_{xoy} = \begin{cases} x^2+y^2 \leqslant a^2 \\ z = 0 \end{cases}$Dxoy​={x2+y2⩽a2z=0​

$I = \iint_{\sum} x^{2} y^2 z d_xd_y$I=∬∑​x2y2zdx​dy​

$=\iint_{D_{xoy}} x^2y^2 \sqrt{a^2-x^2-y^2}(-d_xd_y)$=∬Dxoy​​x2y2a2−x2−y2​(−dx​dy​)

为什么是$-d_xd_y$−dx​dy​呢，因为下部分的法线和z轴的内积为负

$=\iint_{D_{xoy}} (\rho \cos \theta)^2 (\rho \sin \theta)^2 -\sqrt{a^2 - \rho ^2} \rho d_{\rho}$=∬Dxoy​​(ρcosθ)2(ρsinθ)2−a2−ρ2​ρdρ​

下面的计算过程略

高斯公式

形式：$\iint_{\Omega} Pd_xd_z+Qd_yd_z+Rd_xd_y=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})$∬Ω​Pdx​dz​+Qdy​dz​+Rdx​dy​=∭Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)

要使用高斯公式的前提是：

1. 整个积分区域封闭
2. 外侧的方向为正
3. $\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z}$∂x∂P​,∂y∂Q​,∂z∂R​存在且连续