高等数学期末总复习 DAY7.基本不定积分、凑积分、第二类换元法

DAY7.

今日无感叹

1.基本不定积分

这里有一个概念我经常弄混淆，那就是积分是求导数的原函数，而微分是相当于求导加上$d_x$dx​

首先有基本的导数公式：

然后有基本的不定积分的公式：

例题

1、求 $\int x \sqrt x d_x$∫xx​dx​

解：原式

= $\int x* x^{\frac{1}{2}} d_x$∫x∗x21​dx​

= $\int x^{\frac{3}{2}} d_x$∫x23​dx​

=$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$52​x25​+C

不要忘记加上常数C

2、求 $\int 3^xe^x d_x$∫3xexdx​

解：原式

= $\int (3e)^x d_x$∫(3e)xdx​

= $\frac{1}{\ln 3e}(3e)^x + c$ln3e1​(3e)x+c

这里要用到上面的基本不定积分的公式：

2.凑积分

这种题型经常出现

例题

$\int \frac{xd_x}{\sqrt[3](2-3x^2)}$∫3(​2−3x2)xdx​​

解：原式

$= -\frac{1}{6}\int \frac{d_{2-3x^2}}{\sqrt[3](2-3x^2)}$=−61​∫3(​2−3x2)d2−3x2​​

$= -\frac{1}{6}\int (2 - 3x^2)^{-\frac{1}{3}}d_{2-3x^2}$=−61​∫(2−3x2)−31​d2−3x2​

$= -\frac{1}{6} *\frac{3}{2} (2 - 3x^2)^{\frac{2}{3}}+c$=−61​∗23​(2−3x2)32​+c

这种凑的思想就是将$d_x$dx​后面的X凑成方程里面的被积函数而保持原函数不变

3.第二类换元法

这一类换元法是一种整体代换的思想

例题

$\int \frac{1}{1+ \sqrt (2x)} d_x$∫1+(​2x)1​dx​

解：原式

令$\sqrt (2x)$(​2x) = t 则 $x = \frac{t^2}{2}$x=2t2​

$= \int \frac{1}{1+ t} d_{\frac{t^2}{2}}$=∫1+t1​d2t2​​

$= \int \frac{t}{1+ t} d_t$=∫1+tt​dt​

$= \int \frac{t+1-1}{1+ t} d_t$=∫1+tt+1−1​dt​

$= \int 1 -\frac{1}{1+ t} d_t$=∫1−1+t1​dt​

$=t-\ln(1+t)+c$=t−ln(1+t)+c

$= \sqrt2x - \ln(1+ \sqrt2x) +c$=2​x−ln(1+2​x)+c