面积

• 曲线$y_1(x)与y_2(x)$y1​(x)与y2​(x)与在区间[a,b]围成的面积
  $S=\int_b^a|y_1(x)-y_2(x)|dx$S=∫ba​∣y1​(x)−y2​(x)∣dx
  
  $|y_1(x)-y_2(x)|$∣y1​(x)−y2​(x)∣是[a,b]的微元。

• 极坐标曲线$r=r_1(θ),r=r_2(θ)在[θ_1，θ_2]$r=r1​(θ),r=r2​(θ)在[θ1​，θ2​]围成的面积。
  $S=\frac12\int_{θ_1}^{θ_2}|r=r_1(θ)^2-r_2(θ)^2|dx$S=21​∫θ1​θ2​​∣r=r1​(θ)2−r2​(θ)2∣dx
  
  微元部分的意思是把扇近似成直角三角形，面积是1/2*底乘高。

• 常数方程的面积求法
  重点在于如何积分？积分时要注意$\int^a_b$∫ba​的值是x(t)函数的值，要根据t的取值范围写上，而dx也要带入x(t)方程，然后把求导移出，变成dt。

体积

• 曲线y=y(x)在[a,b]区间绕x轴形成的体积
  $V=\int^a_bπy(x)^2dx$V=∫ba​πy(x)2dx
  微元是该几何体的一个截面圆的面积，y(x)是该截面圆的半径(如果是平性与x的轴就重新计算半径即可)。

• 曲线$y=y_1(x),y=y_2(x)$y=y1​(x),y=y2​(x)在[a,b]区间绕x轴形成的体积
  $V=\int^a_bπ|y_1(x)^2-y_2(x)^2|dx$V=∫ba​π∣y1​(x)2−y2​(x)2∣dx(结合上一条和面积第一条可以推导出)

• 曲线y=y(x)在[a,b]区间绕y轴形成的体积
  $V=2π\int^a_bx|y(x)|dx$V=2π∫ba​x∣y(x)∣dx
  微元部分为长方行的面积，x为底边长，|y(x)|为高。乘上2π成为一个甜甜圈的外环。

曲线的平均高

$y(ξ)=\frac{\int_b^ay(x)dx}{b-a}$y(ξ)=b−a∫ba​y(x)dx​(积分中值定理,ξ可以在[a,b]区间找到至少一点满足该条件)