高等数学期末总复习DAY12.复合函数的链式求导、隐函数求导、

DAY12.

鸽了一天，它又来了

1.复合函数的链式求导

这部分的内容也比较简单，有两个法则，按照正常步骤来一般就可以解出来题目

u对x求偏导，从图中我们可以找到两条路径，$u \to z \to x 和 u \to N \to x$u→z→x和u→N→x

所以 ： $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial N} \frac{\partial N}{\partial x}$∂x∂u​=∂z∂u​∂x∂z​+∂N∂u​∂x∂N​

w对t求偏导，从图中我们可以找到三条路径，$w \to x \to t 和 w \to y \to t ,w \to z \to t$w→x→t和w→y→t,w→z→t

所以 ： $\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{d_x}{d_t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{d_y}{d_t} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{d_z}{d_x}$∂t∂w​=∂x∂w​dt​dx​​+∂y∂w​dt​dy​​+∂z∂w​dx​dz​​

根据上面两个示例，我们可以发现，从一个量出发有多个路径的是求偏导，从一个量出发只有一条路径的求导

例题

设$u = f(x^2 - y^2 , e^{xy})$u=f(x2−y2,exy)，求u的一阶偏导，其中f具有一阶连续偏导。

解：

$\frac{\partial u}{\partial x} = f' 2x +f'' e^{xy} y$∂x∂u​=f′2x+f′′exyy

$\frac{\partial u}{\partial y} = f' (-2y) + f'' e^{xy} x$∂y∂u​=f′(−2y)+f′′exyx

可求u的所有一阶偏导。

2.隐函数求导

定义

解题思路

其中一般有两种常见的隐函数形式：

1. $F(x,y) = 0

则： $\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F'x}{F'y}$dx​dy​​=−F′yF′x​ x 和 y都在对角线的位置

2. $F(x,y,z) = 0$F(x,y,z)=0 $\rightarrow z = f(x,y)$→z=f(x,y)

则： $\frac{d_z}{d_x} = - \frac{F'x}{F'z}$dx​dz​​=−F′zF′x​ $\frac{d_z}{d_y} = - \frac{F'y}{F'z}$dy​dz​​=−F′zF′y​

例题

设 $\ln \sqrt {x^2 + y^2} = \arctan \frac{y}{x} 求 \frac{d_y}{d_x}$lnx2+y2​=arctanxy​求dx​dy​​

解：

令 $F(x) = \ln \sqrt {x^2 + y^2} - \arctan \frac{y}{x}$F(x)=lnx2+y2​−arctanxy​

$F(x) = \frac{1}{2}( \ln {x^2 + y^2}) - \arctan \frac{y}{x}$F(x)=21​(lnx2+y2)−arctanxy​

则：

$F'_x = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{\frac{y}{x^2}}{1 + ( \frac{y}{x})^2}$Fx′​=21​x2+y22x​+1+(xy​)2x2y​​

$F'_x = \frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{y}{x^2+ y^2}$Fx′​=x2+y2x​+x2+y2y​

$F'_x = \frac{x+y}{x^2 + y^2}$Fx′​=x2+y2x+y​

$F'_y = \frac{1}{2} \frac{2y}{x^2 + y^2} - \frac{\frac{1}{x}}{1 + ( \frac{y}{x})^2}$Fy′​=21​x2+y22y​−1+(xy​)2x1​​

$F'_y = \frac{y-x}{x^2 + y^2}$Fy′​=x2+y2y−x​

所以：

$\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F'(x)}{F'(y)} = - \frac{y+x}{y-x}$dx​dy​​=−F′(y)F′(x)​=−y−xy+x​