【高数】导数存在,导数就连续吗?
一、概念理解
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函数连续:y=f(x) 在 x_0 的某邻域有定义,且满足下式。
也就说明,连续意味着,x_0 处 f(x) 的极限存在,也即 f(x) 的左极限=右极限=该点函数值。 -
函数间断:
(1)x_0 处无定义
(2)x_0 处有定义,但该点处函数极限不存在
(3)x_0 处有定义,该点处函数极限存在,但极限值 ≠ 函数值 -
导数存在:(百度定义)
也就说明,某点导数存在,表示该点处左导数、右导数均存在且相等,我们把这个相同的值(也就是该点的导数)记作 f '(x_0)。
二、问题讨论
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导数存在表示某区间上导数处处存在,此时原函数连续,但不一定导函数连续。事实上,可构造出无数个这样的函数。
已被研究清楚了,可参考:《【高等数学】导数存在蕴含导数连续?》
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28543551 -
进而,导函数存在但不连续,则存在振荡间断点,但不存在无穷间断点和第一类间断点。(下有简要证明,可进一步理解。截图久远,链接丢失……)
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单侧导数存在,原函数一定存在单侧极限。
证明思路:写出定义式,分母趋近0,而导函数存在,因此分子也趋近0,得出原函数连续。
三、小结
- 导数存在,原函数存在且连续,但导函数不一定连续。
- 导函数不连续时,存在的间断点是振荡间断点。
- 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。
P.S. 这个编辑器不能编辑数学公式,有点难用,还没习惯。以后也会有学习过程中的疑问思考和求解过程,就慢慢更新博客吧。顺便分享给有同样疑惑的人,欢迎探讨哇。同时,为了节省时间,有涉及他人的知识成果的部分,如果没取得转载许可,就都不引用,直接放指路链接了。