1. 两点之间的距离
已知 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),两点之间的距离为d=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2
2.点到平面的距离
已知平面 Π:Ax+By+Cz+D=0,则点M0(x0,y0,z0)到平面的距离为
d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣
3.平行平面之间的距离
平面Π1:Ax+By+Cz+D1=0,平面Π2:Ax+By+Cz+D2=0,两平面之间的距离为
d=A2+B2+C2∣D2−D1∣
4.点到直线的距离
点M0(x0,y0,z0),到直线L:mx−x0=ny−y0=pz−z0的距离
1.方法一:
①过点M0作垂直于直线L的平面 Π:m(x−x0)+n(y−y0)+p(z−z0)=0
②求Π和直线L的交点M1(x1,y1,z1),注:把直线转换为参数式带入平面方程得到M1的坐标
③d=(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2
2.方法二:
任取直线上一点M1(x1,y1,z1),连接M0M1,以M1为起点作一条平行于直线的向量M1A=n=(m,n,p),由于S△M0M1A=21⋅∣M1A×M1M0∣=21⋅d⋅∣M1A∣因此d=∣M1A∣∣M1A×M1M0∣=∣n∣∣n×M1M0∣
5.异面直线之间的距离
已知直线:L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1和L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2,则直线上两点为m1(x1,y1,z1)和m2(x2,y2,z2)
L1和L2共面的充要条件为:L1×L2⋅m1m2=0
L1和L2异面的充要条件为:L1×L2⋅m1m2̸=0
当两直线异面时,需要转化为两直线共面的问题来解答
①过m1做平行于L2的直线L2′
②求m2到直线L2′之间的距离d
③求两共面直线的距离可以转化为求点到直线的距离的问题。
注:上图中求m2到直线L2′的距离即可使用上述第二种方法用L2′的方向向量n=(m2,n2,p2)×m1m2再除以∣n∣