分布

退化分布(单点分布)

• 表达式
  • Pmf：$P \left\{ \xi=c \right\} = 1$P{ξ=c}=1
• 统计特征
  • $E(\xi) = c$E(ξ)=c
  • $D(\xi) = 0$D(ξ)=0

伯努利分布 或 两点分布 或 0-1分布

• 伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验
• 表达式
  • $p_0 = 1 - p, p_1 = p$p0​=1−p,p1​=p
• 统计特征
  • $E(\xi) = p$E(ξ)=p
  • $D(\xi) = p \times (1 - p)$D(ξ)=p×(1−p)

二项分布

• $n$n重伯努利试验
• 表达式
  • $P_n(k) = c_n^k \times p^k \times (1 - p)^{n - k}$Pn​(k)=cnk​×pk×(1−p)n−k
• 统计特征
  • $E(\xi) = n \times p$E(ξ)=n×p
  • $D(\xi) = n \times p \times (1 - p)$D(ξ)=n×p×(1−p)
• pmf图形
  

泊松分布

• 表达式
  • Pmf：$P(k; \lambda) = {\frac{\lambda^k}{k!} \times e^{-\lambda}}$P(k;λ)=k!λk​×e−λ，其中$\lambda$λ > 0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \lambda$E(ξ)=λ
  • $D(\xi) = \lambda$D(ξ)=λ
• pmf图形
  

均匀分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{1}{b - a} \quad if \quad a <= x <= b \quad else \quad 0$f(x)=b−a1​ifa<=x<=belse0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \frac{a + b}{2}$E(ξ)=2a+b​
  • $D(\xi) = \frac{(b - a)^2}{12}$D(ξ)=12(b−a)2​

正态分布

• 表达式
  • $N(\mu, \sigma)$N(μ,σ)的Pdf：$f(x) = {\frac{1}{\sqrt{2 \times \pi} \times \sigma}} \times e^{-\frac{1}{2 \times \sigma^2} \times (x - \mu)^2}$f(x)=2×π​×σ1​×e−2×σ21​×(x−μ)2
• 统计特征
  • $E(\xi) = \mu$E(ξ)=μ
  • $D(\xi) = \sigma^2$D(ξ)=σ2
• pdf图形
  

指数分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \lambda \times e^{-\lambda \times x} \quad if \quad x >= 0 \quad else \quad 0$f(x)=λ×e−λ×xifx>=0else0，其中$\lambda$λ > 0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \frac{1}{\lambda}$E(ξ)=λ1​
  • $D(\xi) = \frac{1}{\lambda^2}$D(ξ)=λ21​

韦布尔分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{m}{x_0} \times (x - v)^{m - 1} \times e^{{-\frac{(x - v)^m}{x_0}}} \quad if \quad x > v \quad else \quad 0$f(x)=x0​m​×(x−v)m−1×e−x0​(x−v)m​ifx>velse0，其中$m > 0$m>0 称为形状参数，$x_0 > 0$x0​>0 称为尺度参数，$v$v 称为位置参数，以上均为常数
• 统计特征
  • $E(\xi) = x_0^{\frac{1}{m}} \times \Gamma(\frac{1}{m} + 1) + v$E(ξ)=x0m1​​×Γ(m1​+1)+v
  • $D(\xi) = x_0^{\frac{2}{m}} \times [\Gamma(\frac{2}{m} + 1) - \Gamma^2(\frac{1}{m} + 1)]$D(ξ)=x0m2​​×[Γ(m2​+1)−Γ2(m1​+1)]

$\Gamma-$Γ−分布

• 表达式
  • Pdf：$\Gamma(\alpha, \beta) = {\frac{x^\alpha \times e^{{-\frac{x}{\beta}}}}{\beta^{\alpha + 1} \times \Gamma(\alpha + 1)}} \quad if \quad x > 0 \quad else \quad 0$Γ(α,β)=βα+1×Γ(α+1)xα×e−βx​​ifx>0else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \beta \times (\alpha + 1)$E(ξ)=β×(α+1)
  • $D(\xi) = \beta^2 \times (\alpha + 1)$D(ξ)=β2×(α+1)

对数正态分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = {\frac{\lg(e)}{\sqrt{2 \times \pi} \times \sigma \times x}} \times e^{-\frac{1}{2} \times (\frac{\lg(x) - \mu}{\sigma})^2} \quad if \quad x > 0 \quad else \quad 0$f(x)=2×π​×σ×xlg(e)​×e−21​×(σlg(x)−μ​)2ifx>0else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = 10^{\mu + \frac{\sigma^2 \times \ln(10)}{2}}$E(ξ)=10μ+2σ2×ln(10)​
  • $D(\xi) = 10^{2 \times \mu + \sigma^2 \times \ln(10)} \times (10^{\sigma^2 \times \ln(10)} - 1)$D(ξ)=102×μ+σ2×ln(10)×(10σ2×ln(10)−1)

柯西分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{1}{\pi} \times \frac{\lambda}{\lambda^2 + (x - \mu)^2}$f(x)=π1​×λ2+(x−μ)2λ​
• 统计特征
  • 各阶矩均不存在

三角分布

• 表达式
  • Pdf：
    • $f(x) = \frac{1}{4} \times (2 + x) \quad if \quad -2 <= x < 0$f(x)=41​×(2+x)if−2<=x<0
    • $f(x) = \frac{1}{4} \times (2 - x) \quad if \quad 0 <= x <= 2$f(x)=41​×(2−x)if0<=x<=2
    • $f(x) = 0 \quad else$f(x)=0else
• 统计特征
  • $E(\xi) = 0$E(ξ)=0
  • $D(\xi) = \frac{2}{3}$D(ξ)=32​

$\chi^2-$χ2−分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \times \Gamma(\frac{n}{2})} \times x^{\frac{n}{2} - 1} \times e^{\frac{x}{2}} \quad if \quad x >= 0 \quad else \quad 0$f(x)=22n​×Γ(2n​)1​×x2n​−1×e2x​ifx>=0else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = n$E(ξ)=n
  • $D(\xi) = 2 \times n$D(ξ)=2×n

$t-$t−分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\sqrt{n \times \pi} \times \Gamma(\frac{n}{2})} \times (1 + \frac{x^2}{n})^{\frac{n + 1}{2}}$f(x)=n×π​×Γ(2n​)Γ(2n+1​)​×(1+nx2​)2n+1​，其中$n$n为正整数
• 统计特征
  • $E(\xi) = 0 \quad if \quad n >= 1$E(ξ)=0ifn>=1
  • $D(\xi) = \frac{n}{n - 2} \quad if \quad n > 2$D(ξ)=n−2n​ifn>2

$F-$F−分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{m + n}{2}) \times m^{\frac{m}{2}} \times n^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{m}{2}) \times \Gamma(\frac{n}{2})} \times \frac{x^{\frac{m}{2} - 1}}{(m \times x + n)^{\frac{m + n}{2}}} \quad if \quad x > 0 \quad else \quad 0$f(x)=Γ(2m​)×Γ(2n​)Γ(2m+n​)×m2m​×n2n​​×(m×x+n)2m+n​x2m​−1​ifx>0else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \frac{n}{n - 2} \quad if \quad n > 2$E(ξ)=n−2n​ifn>2
  • $D(\xi) = \frac{2 \times n^2 \times (n + m - 2)}{m \times (n - 2)^2 \times (n - 4)} \quad if \quad n > 4$D(ξ)=m×(n−2)2×(n−4)2×n2×(n+m−2)​ifn>4

Pareto分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x) = \frac{k \times x_{min}^k}{x^{k + 1}} \quad if \quad x > x_{min} \quad else \quad 0$f(x)=xk+1k×xmink​​ifx>xmin​else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \frac{\theta}{\alpha - 1} \quad if \quad \alpha > 1$E(ξ)=α−1θ​ifα>1
  • $D(\xi) = (\frac{\theta}{\alpha - 1})^2 \times \frac{\alpha}{\alpha - 2}$D(ξ)=(α−1θ​)2×α−2α​
• 应用场景
  • 财富在个人之间的分布
  • 人类居住区的大小
  • 对*条目的访问
  • 接近绝对零度时，玻色–爱因斯坦凝聚的团簇
  • 在互联网流量中文件尺寸的分布
  • 油田的石油储备数量
  • 龙卷风带来的灾难的数量

$\beta-$β−分布 或 贝塔分布 或 $B$B分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \times \Gamma(\beta)} \times x^{\alpha - 1} \times (1 - x)^{\beta - 1} = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \times x^{\alpha - 1} \times (1 - x)^{\beta - 1}\quad if \quad 1 > x > 0$f(x;α,β)=Γ(α)×Γ(β)Γ(α+β)​×xα−1×(1−x)β−1=B(α,β)1​×xα−1×(1−x)β−1if1>x>0
• 统计特征
  • 众数：$\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}$α+β−2α−1​
  • $E(\xi) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$E(ξ)=α+βα​
  • $D(\xi) = \frac{\alpha \times \beta}{(\alpha + \beta)^2 \times (\alpha + \beta + 1)}$D(ξ)=(α+β)2×(α+β+1)α×β​
  • 偏度：$\frac{2 \times (\beta - \alpha) \times \sqrt{\alpha + \beta +1}}{(\alpha + \beta +2) \times \sqrt{\alpha \times \beta}}$(α+β+2)×α×β​2×(β−α)×α+β+1​​
  • 峰度：$\frac{6 \times [\alpha^3 - \alpha^2 \times (2 \times \beta - 1) + \beta^2 \times (\beta + 1) - 2 \times \alpha \times \beta \times (\beta + 2)]}{\alpha \times \beta \times (\alpha + \beta + 2) \times (\alpha + \beta + 3)} = \frac{6 \times [(\alpha - \beta)^2 \times (\alpha + \beta + 1) - \alpha \times \beta \times (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \times \beta \times (\alpha + \beta + 2) \times (\alpha + \beta + 3)}$α×β×(α+β+2)×(α+β+3)6×[α3−α2×(2×β−1)+β2×(β+1)−2×α×β×(β+2)]​=α×β×(α+β+2)×(α+β+3)6×[(α−β)2×(α+β+1)−α×β×(α+β+2)]​

狄利克雷分布(Dirichlet) 或 多元$\beta-$β−分布

• 表达式
  • Pdf： * $Dir(X|\alpha) = \frac{1}{B(\alpha)} \times \prod_{i=1}^{d} X_i^{\alpha_i - 1}$Dir(X∣α)=B(α)1​×∏i=1d​Xiαi​−1​，其中$B(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^{d} \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\alpha_0)}, \alpha_0 = \sum_{i=1}^d \alpha_i, d >= 3$B(α)=Γ(α0​)∏i=1d​Γ(αi​)​,α0​=∑i=1d​αi​,d>=3，式中参数说明$\alpha \in \left\{\alpha_0, ..,\alpha_d \right\} > 0$α∈{α0​,..,αd​}>0是无量纲分布参数，$\alpha_0$α0​是分布参数的和
• 统计特征
  • 众数mode：$\frac{\alpha_i - 1}{\alpha_0 - d}$α0​−dαi​−1​
  • $E(\xi) = \frac{\alpha_i}{\alpha_0}$E(ξ)=α0​αi​​
  • $D(\xi) = \frac{\alpha_i \times (\alpha_0 - \alpha_i)}{\alpha_0^2 \times (\alpha_0 + 1)}$D(ξ)=α02​×(α0​+1)αi​×(α0​−αi​)​
  • 相关系数：$\frac{\alpha_i \times \alpha_0 - \alpha_i \times \alpha_j}{\alpha_0^2 \times (\alpha_0 + 1)}$α02​×(α0​+1)αi​×α0​−αi​×αj​​

二维两点分布

• 表达式
  • Pdf：
    • $p(i, k) = q \quad if \quad i = 0,k=0$p(i,k)=qifi=0,k=0
    • $p(i, k) = 1 - q \quad if \quad i = 1,k=1$p(i,k)=1−qifi=1,k=1
    • $p(i, k) = 0 \quad else$p(i,k)=0else
• 统计特征
  • $E(\xi) = E(\eta) = p$E(ξ)=E(η)=p
  • $b_{ik} = p \times (1 - p)$bik​=p×(1−p)

二维均匀分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x, y) = \frac{1}{(b1 - a1) \times (b2 - a2)} \quad if \quad a_1 <= x <= b_1 \quad \& \quad a_2 <= y <= b_2 \quad else \quad 0$f(x,y)=(b1−a1)×(b2−a2)1​ifa1​<=x<=b1​&a2​<=y<=b2​else0
• 统计特征
  • $E(\xi) = \frac{a_1 + b_1}{2}$E(ξ)=2a1​+b1​​
  • $E(\eta) = \frac{a_2 + b_2}{2}$E(η)=2a2​+b2​​
  • $b_{ik} = \frac{(b_1 - a_1)^2}{12} \quad if \quad i = k = 1$bik​=12(b1​−a1​)2​ifi=k=1
  • $b_{ik} = \frac{(b_2 - a_2)^2}{12} \quad if \quad i = k = 2$bik​=12(b2​−a2​)2​ifi=k=2
  • $b_{ik} =0 \quad else$bik​=0else

二维正态分布

• 表达式
  • Pdf：$f(x, y) = \frac{1}{2 \times \pi \times \sigma_1 \times \sigma_2 \times \sqrt{1 - r^2}} \times e^{-\frac{1}{2 \times (1 - r^2)} \times [\frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2} - 2 \times r \times \frac{(x - m_1) \times (y - m_2)}{\sigma_1 \times \sigma_2} + \frac{(y - m_2)^2}{\sigma_2^2}]}$f(x,y)=2×π×σ1​×σ2​×1−r2​1​×e−2×(1−r2)1​×[σ12​(x−m1​)2​−2×r×σ1​×σ2​(x−m1​)×(y−m2​)​+σ22​(y−m2​)2​]
• 统计特征
  • $E(\xi) = m_1$E(ξ)=m1​
  • $E(\eta) = m_2$E(η)=m2​
  • $D(\xi) = \sigma_1^2$D(ξ)=σ12​
  • $D(\eta) = \sigma_2^2$D(η)=σ22​
  • $\rho = r$ρ=r