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微积分笔记系列（五）

分类: 文章 • 2024-05-21 23:14:22

无穷级数：

  • 一、无穷级数相关概念：
概念 释义
收敛 lim⁡∑an\lim \sum a_n存在
发散 lim⁡∑an\lim \sum a_n不存在
绝对收敛 lim⁡∑∣an∣\lim \sum \mid a_n\mid存在
条件收敛 lim⁡∑∣an∣\lim \sum \mid a_n\mid不存在，且lim⁡∑an\lim \sum a_n存在
一致收敛 微积分笔记系列（五）
  • 二、收敛级数性质：

1）收敛级数具有可结合性；
2）绝对收敛级数具有可更序性；
3）对于一致收敛的函数级数∑un(x)∑u_n(x)：
Ⅰ. 若un(x)u_n(x)连续，则和函数连续；
Ⅱ. 和函数可以逐项求导；
Ⅲ. 和函数可以逐项积分；

  • 三、数项级数敛散性判定定理：
定理名称 适用级数 充分性/必要性 定理内容
柯西收敛原理 任意级数 充要 微积分笔记系列（五）
通项判别法 任意级数 必要 收敛级数的通项ana_n趋近于0
比较定理 正项级数 充分 微积分笔记系列（五）
柯西判别法 正项级数 充分 微积分笔记系列（五）
达朗贝尔判别法 正项级数 充分 微积分笔记系列（五）微积分笔记系列（五）
积分判别法 正项级数 充分 微积分笔记系列（五）
库默尔判别法 正项级数 充分 假设Σ1cnΣ\frac{1}{c_n}是一个发散的正项级数，令Kn=cn∗anan+1−cn+1,K=lim⁡KnK_n = c_n*\frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}, K = \lim K_n, 则当K>0时级数收敛，当K<0时级数发散，当K=0时不能确定
拉阿伯判别法 正项级数 充分 令上式cn=nc_n = n,则可令Rn=n(anan+1−1),R=lim⁡RnR_n = n(\frac{a_n}{a_{n+1} }- 1), R = \lim R_n，则当R>1时级数收敛，当R<1时级数发散，R=1时不能确定
贝朗特判别法 正项级数 充分 令上式cn=nln⁡nc_n = n\ln n,则可令Bn=ln⁡n[n(anan+1−1)−1],B=lim⁡BnB_n =\ln n[n(\frac{a_n}{a_{n+1} }- 1)-1], B = \lim B_n，则当B>1时级数收敛，当B<1时级数发散，B=1时不能确定
高斯判别法 正项级数 充分 若anan+1=λ+μn+cnn2\frac{a_n}{a_{n+1}} = λ+\frac{μ}{n} + \frac{c_n}{n^2}, 其中λ和μ都是常数，而cnc_n是有界量，则当λ>1λ>1时级数收敛；当λ<1λ<1时级数发散；当λ=1λ=1时，若μ>1μ>1级数收敛，μ≤1μ\le1时级数发散
莱布尼兹定理 交错级数 充分 微积分笔记系列（五）
阿贝尔判别法 任意级数 充分 微积分笔记系列（五）
狄里克莱判别法 任意级数 充分 微积分笔记系列（五）
  • 四、函数项级数收敛定理：
定理名称 适用级数 充分性/必要性 定理内容
魏尔斯特拉斯判别法 任意级数 充分 微积分笔记系列（五）
阿贝尔定理 幂级数 充分 微积分笔记系列（五）
柯西-阿达马定理 幂级数 充分 微积分笔记系列（五）微积分笔记系列（五）
余项判别法 泰勒级数 充要 若函数f(x)f(x)在x0x_0处展开的泰勒级数的余项lim⁡Rn(x)=0\lim R_n(x)=0，该泰勒级数在x0x_0处收敛于f(x)f(x)
  • 五、无穷限广义积分收敛定理：
定理名称 适用积分 充分性/必要性 定理内容
柯西收敛原理 无穷限广义积分 充要 微积分笔记系列（五）
比较判别法 无穷限广义积分 充分 微积分笔记系列（五）微积分笔记系列（五）
柯西判别法 无穷限广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
阿贝尔判别法 无穷限广义积分 充分 微积分笔记系列（五）微积分笔记系列（五）
狄利克莱判别法 无穷限广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
  • 六、*函数广义积分收敛定理：
定理名称 适用积分 充分性/必要性 定理内容
柯西收敛原理 *函数广义积分 充要 微积分笔记系列（五）
比较判别法 *函数广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
柯西判别法 *函数广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
阿贝尔判别法 *函数广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
狄利克莱判别法 *函数广义积分 充分 微积分笔记系列（五）
  • 七、傅里叶级数：

1）任意周期函数傅里叶展开公式：

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=> 周期为2π2\pi，定义域为(−π,+π)(-\pi,+\pi)的周期函数：
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=> 奇函数展开：

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=> 偶函数展开：
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2）狄里克莱收敛定理（周期2π2\pi，定义域(−π,+π)(-\pi,+\pi)）：

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