《数学基础》-2.微积分-2.1.导数中的中值定理

2.1.导数中的中值定理

2.1.1.函数的导数

导数的引入

1.直线运动的速度

计算的瞬时速度为：

2.曲线的切线

求MN两点间割线的斜率(当N无限靠近M的时候，就相当于M点切线的斜率)：

常用函数的导数

 

定理：导数存在<==>左右导数存在且相等

 

例题：函数f(x)=|x|在x=0处的导数不存在

解：

 

求导法则：

链式法则：

高阶导数：

2.1.2.中值定理

拉格朗日中值定理

上式可改写为：

从图像上看就是a，b两点间的曲线上，总是可以找到一个点的切线的斜率与线ab的斜率相等（二者平行）

柯西中值定理

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况（就是F(x)=x）。

2.1.3.洛必达法则

证明：设f(a)=F(a)=0,利用柯西中值定理得：